Operatori lineari: dubbi
Sto studiando gli operatori di Schrodinger e la loro analisi spettrale e mi è sorto il seguente dubbio.
Nell'analizzare la relazione tra le soluzioni delle equazione di S. e l'autoaggiunzione dell'operatore, l'autore del libro su cui sto studiando definisce il seguente operatore:
$Tu = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda_ne_n$ con dominio $D(T)= {v \in H : \sum_{n=0}^{\infty} \lambda_n ^2 ||^2 <\infty}$
dove:
$\lambda_n$ sono gli autovalori dell'operatore di Sch. S e sono reali
$e_n$ sono i rispettivi autovettori (e si è supposto che ne esistessero abbastanza perchè ogni elemento $u \in H$ potesse essere scritto in serie di Fourier tramite essi) e sono ortonormali.
$H$ è lo spazio di Hilbert $L^2 (\mathbb{R}^n)$
Si dimostra che $T$ è simmetrico e che $T \subseteq S$, poi l'autore dice che non sempre si può avere $S=T$ perchè i loro domini dipendono dalle proprietà di $V$, il potenziale nell'eq. di Sch. Poi aggiunge che a priori non possiamo nemmeno sapere se questi due domini contengano un sottoinsieme di H denso in H.
Ora, il mio dubbio è questo. Se prendo $e_m$, vedo che che sta in $D(T)$, poichè $ \sum_{n=0}^{\infty} \lambda_n ^2 ||^2 = \lambda_m ^2$.
Inoltre $D(T)$ è sottospazio lineare di H, perciò $span{e_n} \subseteq D(T)$... ma allora $D(T)$ è denso in $H$.
Cosa sbaglio nel ragionamento?
Paola
Nell'analizzare la relazione tra le soluzioni delle equazione di S. e l'autoaggiunzione dell'operatore, l'autore del libro su cui sto studiando definisce il seguente operatore:
$Tu = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda_n
dove:
$\lambda_n$ sono gli autovalori dell'operatore di Sch. S e sono reali
$e_n$ sono i rispettivi autovettori (e si è supposto che ne esistessero abbastanza perchè ogni elemento $u \in H$ potesse essere scritto in serie di Fourier tramite essi) e sono ortonormali.
$H$ è lo spazio di Hilbert $L^2 (\mathbb{R}^n)$
Si dimostra che $T$ è simmetrico e che $T \subseteq S$, poi l'autore dice che non sempre si può avere $S=T$ perchè i loro domini dipendono dalle proprietà di $V$, il potenziale nell'eq. di Sch. Poi aggiunge che a priori non possiamo nemmeno sapere se questi due domini contengano un sottoinsieme di H denso in H.
Ora, il mio dubbio è questo. Se prendo $e_m$, vedo che che sta in $D(T)$, poichè $ \sum_{n=0}^{\infty} \lambda_n ^2 |
Inoltre $D(T)$ è sottospazio lineare di H, perciò $span{e_n} \subseteq D(T)$... ma allora $D(T)$ è denso in $H$.
Cosa sbaglio nel ragionamento?
Paola
Risposte
Non c'è nessuna connessione tra la densità (concetto topologico) e l'essere [tex]D(T)[/tex] un sottospazio lineare di [tex]L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] (concetto algebrico).
@j18eos: ma Paola sa che gli ${e_n}$ sono un sistema ortonormale completo, dunque $"span"{e_n:n}$ è un sottoinsieme denso di $H$.
@Paola: Secondo me hai ragione. Se lui dice di avere una base ortonormale di autovettori dell'operatore $S$, in particolare $S$ ha il dominio denso, e questo mi pare lapalissiano. Secondo il ragionamento che hai fatto tu, ogni autovettore sta nel dominio di $T$, e quindi pure $T$ ha il dominio denso. Mi pare giusto...
Che strano... perchè nel seguito spreca una decina di righe sulla cosa, mostrando che sotto certe condizioni su $V$ $C_0^infty \subseteq D(T)$... mah!
Grazie mille della risposta, ciao
Paola
Grazie mille della risposta, ciao
Paola
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