Operatori limitati
Salve a tutti ,non riesco a svolgere del tutto questo esercizio : Sia $ a={a_j} \in l^\infty $ si ponga $ (Tx)_j=a_jx_j , j=1,2... $ e $ x\in l^1 $ ,si dimostri che $ T:l^1 \rightarrow l^1 $ è un operatore limitato e che $ ||T||= ||a||_\infty $.
Allora $ |T(x)|=|a_j x_j | <= || a||_\infty ||x||_1 $ e quindi $ ||T ||_1 <= ||a||_\infty $ è corretto ?
Come faccio a rispondere alla seconda domanda ?
Grazie a tutti
Allora $ |T(x)|=|a_j x_j | <= || a||_\infty ||x||_1 $ e quindi $ ||T ||_1 <= ||a||_\infty $ è corretto ?
Come faccio a rispondere alla seconda domanda ?
Grazie a tutti
Risposte
Bisognerebbe scrivere $|| Tx||_{l^1}=\sum_{j=1}^{+\infty}|a_jx_j|\leq ||a||_{\l^{\infty}}\sum_{j=1}^{+\infty}|x_j|$, ma l'idea è giusta. Riguardo alla seconda domanda, puoi prendere $e^{(n)}$ la successione tale che il terme d'indice $n$ sia il segno di $a_n$ ($1$ se $a_n> 0$, $-1$ se $a_n<0$ et $0$ se $a_n=0$) e tutti gli altri $0$. Qual è $||Te^{(n)}||_{l^1}$?
Mmmm....non si potrebbe prendere una successione un pò meno complicata ?! Perchè non ho la minima idea di come possa farlo...
Non è cosi complicata (forse le notazioni non sono proprio adatte), ricomincio. Prendiamo $e^{(n)}$ la successione tale che il termine d'indice $n$ sia $1$ e tutti gli altri $0$. Si considera un altra successione $\varepsilon_n$ tale che $\varepsilon_n$ sia $1$ se $a_n>0$, $0$ se $a_n=0$ e $-1$ se $a_n<0$. Ponendo $v^{(n)}:=\varepsilon_n e^{(n)}$, si nota che $Tv^{(n)}$ è una successione tale che il termine d'indice $n$ sia $|a_n$, e tutti gli altri $0$. Dunque la norma di $T$ è più grande che ogni $|a_n|$.
Alt ! Mi sto confondendo !!! Ma l'indice n sarebbe j ??
Si ma siccome è un indice di sommazione non importa.
Adesso va un pochito meglio ! io adesso cercherò di riscrivermi un pò tutto...se ci sono problemi ti riscrivo!
Thanks a lot !
Thanks a lot !
Ciao...ascolta io ho elaborato quello che mi hai detto tu e ho dato un'occhiata ai miei appunti...va bene se scrivo ( la seconda parte per far vedere che $ ||T||=||a||_\infty $ ):
preso un $\epsilon >0 $, dato che si ha $ ||a||_\infty $,per definizione di estremo superiore $ \exists $ un intero $ i $ tale che $ |a_i |>||a||_\infty - \epsilon $ ,preso ora in $ l^1 $ la successione $x=(0,0,.....1,0...) $ ,dove $ 1 $ sta al posto i-esimo, si ha ovviamente che $ ||x||_1=1 $ e quindi $ ||Tx||_1 = | \sum_j a_j x_j |=|a_i x _i|=|a_i|>||a||_\infty-\epsilon= (||a||_infty-\epsilon )||x||_1 $ ,quindi $ ||T||=||a||_\infty $
E' giusto ??
Grazie mille !
PS Una domanda un pò sciocca: per far vedere che è limitato questo operatore va bene far vedere solo che $ ||T||_1<= ||a||_\infty $ ??
Grazie alla $ 10^3 $
preso un $\epsilon >0 $, dato che si ha $ ||a||_\infty $,per definizione di estremo superiore $ \exists $ un intero $ i $ tale che $ |a_i |>||a||_\infty - \epsilon $ ,preso ora in $ l^1 $ la successione $x=(0,0,.....1,0...) $ ,dove $ 1 $ sta al posto i-esimo, si ha ovviamente che $ ||x||_1=1 $ e quindi $ ||Tx||_1 = | \sum_j a_j x_j |=|a_i x _i|=|a_i|>||a||_\infty-\epsilon= (||a||_infty-\epsilon )||x||_1 $ ,quindi $ ||T||=||a||_\infty $
E' giusto ??
Grazie mille !
PS Una domanda un pò sciocca: per far vedere che è limitato questo operatore va bene far vedere solo che $ ||T||_1<= ||a||_\infty $ ??
Grazie alla $ 10^3 $
Quello che hai fatto è corretto, forse bisognerebbe solo aggiungere che siccome $||T x||_1\geq ||x||_1(||a||_{\infty}-\varepsilon)$, si ha $||T||\geq \frac{||Tx||_1}{||x||1}\geq ||a||_{\infty}-\varepsilon$ per ogni $\varepsilon$ dunque $||T||\geq ||a||_{\infty}$.
Se hai dimostrato che $"sup"_{x\ne 0}\frac{||Tx||_1}{||x||_1}$ è finito e che $T$ è lineare, hai mostrato che $T$ è limitato.
Se hai dimostrato che $"sup"_{x\ne 0}\frac{||Tx||_1}{||x||_1}$ è finito e che $T$ è lineare, hai mostrato che $T$ è limitato.
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