Operatori e matrici

[Alfano2]

Ciao a tutti, sto facendo esercizi guidati di analisi II e non capisco una cosa.
Il sistema è facile:
$ dot(x) =Ax $
quando la matrice è questa
$ A=( ( 4 , -1 ),( 1 , 2 ) ) $
con due autovalori reali coincidenti, l'eserciziario la scompone come A = S + N dove
$ S=( ( 3 , 0 ),( 0 , 3 ) ) $
e N è una matrice nilpotente che posso trovare facendo N = A - S. Fin qui ok.
Ma se la matrice è
$ A=( ( 2 , -1 , 2 ),( 2 , 0 , 4 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $
con due autovalori a = 2 di molteplicità 2
e un autovalore b = -2 di molteplicità 1,
il libro dice che la matrice S non è diagonale ma va cercata sapendo che nella base degli autovettori la matrice S diventa
$ S'=( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , -2 ) ) $ .
Perchè questa volta S non è diagonale? Lo è solo quando gli autovalori sono tutti coincidenti?

[gugo82]

La matrice \(A\) di dimensione \(3\) non è diagonalizzabile (perché l'autovalore \(2\) ha molteplicità geometrica strettamente minore di quella algebrica), quindi è impossibile trovare una base di \(\mathbb{R}^3\) rispetto la quale \(A\) diventi diagonale.
Quello che si può dire è che \(A\) si può mettere in forma canonica di Jordan, la quale forma nel caso in esame è:
\[
J:=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\; ,
\]
nel senso che esistono una base formata da "autovettori generalizzati" ed una matrice di passaggio \(P\) dalla base canonica a quella di autovettori generalizzati tali che:
\[
A=PJP^{-1}\; .
\]
Queste cose dovrebbero essere state trattate nei corsi di Algebra Lineare.