Operatori differenziali(Laplaciano)

[nico97it]

Buonasera, non riesco a capire come risolvere il seguente esercizio.

Sia $ B={(x,y):x^2+y^2<= R^2} $ il vincolo. Trovare la funzione $ uin C^2(B) $ tale che:

\( \begin{cases} -\bigtriangleup u=1 \\ u=0 \end{cases} \)

dove la prima equazione del sistema deve essere vera in B mentre la seconda sulla frontiera di B.
Per tentativi ho trovato le seguenti funzioni a simmetria radiale che soddisfano le condizioni.

$ (-(x^2+y^2)^(n/2)+R^n)/n^2 $

Inoltre volevo chiedervi, che legame c'è tra questo tipo di funzioni e i problemi di calcolo di massimo e minimo vincolati?

[dissonance]

Che cos'è \(n\)? Quel problema ha una unica soluzione, quindi ne devi dare solo una. Se la trovi per tentativi va benissimo, l'importante è trovarla, non è importante come.

[nico97it]

Quella n è un numero naturale. Ho trovato inizialmente la funzione $ u=(-(x^2+y^2)+R^2)/4 $
e in seguito ho provato a generalizzare.

[dissonance]

Tu devi trovare una sola soluzione, se ne trovi di più c'è qualche errore.

[nico97it]

Potresti farmi vedere il procedimento corretto e il risultato che ti viene?

[dissonance]

Ma guarda, se tu, come dici, hai fatto i conti e hai trovato una soluzione, l'esercizio è finito. Non vedo perché dovrei mettermi a rifare io i tuoi conti.

Se non sei sicuro dei tuoi conti, come sembri affermare implicitamente, postali qui e li possiamo controllare. Ricordati che devi trovare una sola soluzione, lascia perdere quella \(n\).

[gugo82]

Per fatti noti, la soluzione è radiale, i.e. $u(x,y) = u(r)$ con $r=sqrt(x^2 + y^2)$, radialmente decrescente ed analitica nella palla.
Visto che $Delta u(x,y) = 1/r (text(d))/(text(d) r) [ r dot(u)(r)]$, il problema si riscrive:
\[
\begin{cases}
\frac{\text{d}}{\text{d} r} \left[ r \dot{u} (r) \right] = - r &\text{, se } 0 < r < R\\
u(R) = 0\\
\dot{u} (0) = 0
\end{cases}
\]
e si integra “a mano” (con due integrazioni definite successive), trovando:
\[
\begin{split}
r \dot{u}(r) = - \frac{r^2}{2} \quad &\Leftrightarrow \quad \dot{u}(r) = - \frac{r}{2}\\
&\Leftrightarrow \quad u(r) = \frac{R^2 - r^2}{4}\; ,
\end{split}
\]
dunque la funzione in coordinate cartesiane è:
\[
u(x,y) = \frac{R^2 - (x^2 + y^2)}{4}\;.
\]
Come diceva dissonance (e come si evince dai conti), la soluzione è unica, quindi quella $n$ c’entra poco e niente, più niente che poco...

Quello che puoi pensare di fare è generalizzare il risultato in dimensione $N$.
Il metodo è analogo, solo che il laplaciano radiale si esprime come $Delta u(x) = 1/(r^(N-1)) (text(d))/(text(d) r) [ r^(N-1) dot(u) (r)]$.