Operatori differenziali vettoriali
Ciao a tutti volevo innanzitutto chiedervi se conscevate una dispensa o un link utile e completo sulle proprietä del gradiente e sugli opertatori differenziali come la divergenza e il rotore.
Nel mio libro non vengono trattati..
Devo effettuare le seguenti dimostrazioni
1)$ grad(f · g) = g · grad(f ) + f · grad(g)$;
2) $Div(f · A) =+ f · Div(A)$;
3) $∆(f · g) = g · ∆(f ) + 2 + f · ∆(g)$;
4) $rot(f · A) = grad(f ) × A + f · rot(A)$;
5) $Div(A × B) = − $ .
il caso n1) l´ho risolto dicendo che il gradiente essendo nient´altro che un vettore composto di derivate parziali si puö quindi anche per il gradiente applicare la regola del prodotto delle derivate. (insomma l´ho risolto cosí direttamente senza passaggi non so é giusto cosí
)
Grazie in anticipo!
Nel mio libro non vengono trattati..
Devo effettuare le seguenti dimostrazioni
1)$ grad(f · g) = g · grad(f ) + f · grad(g)$;
2) $Div(f · A) =
3) $∆(f · g) = g · ∆(f ) + 2
4) $rot(f · A) = grad(f ) × A + f · rot(A)$;
5) $Div(A × B) =
il caso n1) l´ho risolto dicendo che il gradiente essendo nient´altro che un vettore composto di derivate parziali si puö quindi anche per il gradiente applicare la regola del prodotto delle derivate. (insomma l´ho risolto cosí direttamente senza passaggi non so é giusto cosí
)Grazie in anticipo!
Risposte
Si tratta solo di conti, con un (bel) po' di pazienza si fanno una ad una.
f e g sono funzioni $ in RR^3$
Devo dimostrare:
$ rot ( f *grad (g) = grad(f) × grad(g) $
allora:
$ A = nabla g$
$ f *rot(A)+ grad f × A = nabla f × nabla g$
poiché
$ f* rot (A)= 0$
$ nabla f × nabla g = nabla f × nabla g$
non mi é chiara la seguente identitä.
$rot ( f * A) = f * rot A + grad f × A $
Devo dimostrare:
$ rot ( f *grad (g) = grad(f) × grad(g) $
allora:
$ A = nabla g$
$ f *rot(A)+ grad f × A = nabla f × nabla g$
poiché
$ f* rot (A)= 0$
$ nabla f × nabla g = nabla f × nabla g$
non mi é chiara la seguente identitä.
$rot ( f * A) = f * rot A + grad f × A $
Non è una "definizione". E' una identità tra oggetti che sono già stati definiti.
Ma cos'è che non ti è chiaro? La dimostrazione di quella identità, forse? Io, fossi in te, la prenderei per buona! 
La dimostrazione di queste identità di calcolo vettoriale è in genere una pallosissima sfilza di calcoli. Comunque, la via è: introduci un sistema di coordinate cartesiane $Oxyz$, ti ricordi l'espressione degli operatori differenziali in questo sistema e procedi con i conti.
Ah, a proposito, rivedi bene le ipotesi. Se ho capito bene, $f$ dovrebbe essere un campo scalare e $A$ un campo vettoriale, ma da come scrivi non è chiaro.
La dimostrazione di queste identità di calcolo vettoriale è in genere una pallosissima sfilza di calcoli. Comunque, la via è: introduci un sistema di coordinate cartesiane $Oxyz$, ti ricordi l'espressione degli operatori differenziali in questo sistema e procedi con i conti.
Ah, a proposito, rivedi bene le ipotesi. Se ho capito bene, $f$ dovrebbe essere un campo scalare e $A$ un campo vettoriale, ma da come scrivi non è chiaro.
"dissonance":
Ma cos'è che non ti è chiaro? La dimostrazione di quella identità, forse? Io, fossi in te, la prenderei per buona!
La dimostrazione di queste identità di calcolo vettoriale è in genere una pallosissima sfilza di calcoli. Comunque, la via è: introduci un sistema di coordinate cartesiane $Oxyz$, ti ricordi l'espressione degli operatori differenziali in questo sistema e procedi con i conti.
Ah, a proposito, rivedi bene le ipotesi. Se ho capito bene, $f$ dovrebbe essere un campo scalare e $A$ un campo vettoriale, ma da come scrivi non è chiaro.
ok non mi era chiara la dimostazione dell´identitä. Pensavo anche che la dimostrazione non fosse cosí lunga.
comunque cosa intendi dire pe rivedi bene le ipotesi? ho sbagliato qualcosa nei conti?
No, però è meglio se scrivi bene chi è uno scalare e chi un vettore. Tu scrivi "$f, g$ sono funzioni $\in RR^3$", che lascia ambiguità. Inoltre, in un contesto di calcolo vettoriale io preferisco scrivere i prodotti scalare per vettore per giustapposizione:
$\lambda\vec{x}$
e i prodotti scalari con un puntino
$\vec{x}*\vec{y}$.
Secondo me, è più chiaro.
$\lambda\vec{x}$
e i prodotti scalari con un puntino
$\vec{x}*\vec{y}$.
Secondo me, è più chiaro.
Se conosci l'uso del simbolo di Levi-Civita le dimostrazioni son relativamente corte.
Ad esempio, per l'identità $rot(f \mathbf A) = f \cdot \rot \mathbf A + \nabla f \times \mathbf A$, avresti
$\rot(f \mathbf A) = \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \partial_i(f\mathbf A)_j \mathbf{e_k} = \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \partial_i f A_j \mathbf{e_k} + f \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \partial_i A_j \mathbf{e_k} = \nabla f \times \mathbf A + f \cdot \rot \mathbf A$
ove $\mathbf{e_k}$ è il $k$-esimo elemento della base canonica di $\mathbb R^3$.
Ad esempio, per l'identità $rot(f \mathbf A) = f \cdot \rot \mathbf A + \nabla f \times \mathbf A$, avresti
$\rot(f \mathbf A) = \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \partial_i(f\mathbf A)_j \mathbf{e_k} = \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \partial_i f A_j \mathbf{e_k} + f \sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \partial_i A_j \mathbf{e_k} = \nabla f \times \mathbf A + f \cdot \rot \mathbf A$
ove $\mathbf{e_k}$ è il $k$-esimo elemento della base canonica di $\mathbb R^3$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo