Operatori differenziali in coordinate polari

[Ingenium1]

Ciao a tutti!
Vi sottopongo un piccolo dubbio per dei conti che non mi tornano.

Devo riscrivere un operatore differenziale in coordinate sferiche. Il testo mi dice, utilizzando una notazione che credo sarà familiare a tutti, che gli operatori differenziali vanno così trasformati (derivazione a catena):

$ (partial )/(partial x) = (partial r)/(partial x) (partial )/(partial r) +(partial theta)/(partial x) (partial )/(partial theta) +(partial phi)/(partial x) (partial )/(partial phi) $

E così via per y e z.
Non mi dice il risultato, semplice da trovare. Il problema è che quello che io calcolo è diverso da ciò che invece è riportato in un altro testo, e cioè, sempre nel caso della x:

$ (partial )/(partial x) = cosphisintheta (partial )/(partial r) +cosphicostheta (partial )/(partial theta) - 1/r sinphi/sintheta (partial )/(partial phi) $

Quindi, dovrebbe essere per esempio:

$ (partial r)/(partial x) = cosphisintheta $

Cosa che non mi risulta da $ x=rcosphisintheta $ .
Dove sta la beffa?
Grazie a tutti, aspetto vostro riscontri

[dissonance]

Non capisco cosa ti sconvolga. Se vuoi calcolare direttamente \(\frac{\partial r}{\partial x}\) non devi usare l'equazione \(x=r\cos \phi \sin \theta\), ma piuttosto \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

[Ingenium1]

Perché l'una va bene e l'altra no?

[Ingenium1]

Forse ho capito, perché anche $ phi $ e $ theta $ presentano dipendenza dalla x e quindi la derivata parziale non è ingenuamente quella che avevo trovato:

$ (partial r )/(partial x) = (partial x/(cosphi sintheta) )/(partial x)!= 1/(cosphi sintheta) $

Ha senso?
Ti ringrazio per avermi risposto

[dissonance]

SI esatto