Operatori differenziali e loro simboli
Ciao!! 
Sto studiando analisi superiore e mi sono scontrato con i simboli e i simboli principali di operatori differenziali.
Fermiamoci agli operatori differenziali tipo equazione del calore ed equazione di Schrodinger.
Innanzitutto, che differenza c'è tra l'operatore di Laplace scritto come $\nabla ^2$ e quello scritto come $\Delta$ ?
Dopodichè: come si calcola il simbolo e il simbolo principale di operatori differenziali(in questi due casi anche a coefficienti costanti) ? E applicati a questi due casi?perchè non mi vengono fuori i $\quad - \quad$ che trovo negli appunti?
In sostanza, devo chiarire come calcolare i simboli di operatori diff. .
Se potete aiutarmi, vi ringrazio .
Ciao!!!!
P.s. non ho nemmeno chiaro il simbolo dell'operatore banale "de bar" (derivata) in $\mathbb{R^2}$..
Sto studiando analisi superiore e mi sono scontrato con i simboli e i simboli principali di operatori differenziali.
Fermiamoci agli operatori differenziali tipo equazione del calore ed equazione di Schrodinger.
Innanzitutto, che differenza c'è tra l'operatore di Laplace scritto come $\nabla ^2$ e quello scritto come $\Delta$ ?
Dopodichè: come si calcola il simbolo e il simbolo principale di operatori differenziali(in questi due casi anche a coefficienti costanti) ? E applicati a questi due casi?perchè non mi vengono fuori i $\quad - \quad$ che trovo negli appunti?
In sostanza, devo chiarire come calcolare i simboli di operatori diff. .
Se potete aiutarmi, vi ringrazio
.Ciao!!!!
P.s. non ho nemmeno chiaro il simbolo dell'operatore banale "de bar" (derivata) in $\mathbb{R^2}$..
Risposte
"rinaldo90":
Innanzitutto, che differenza c'è tra l'operatore di Laplace scritto come $\nabla ^2$ e quello scritto come $\Delta$ ?
Direi di no, ma le notazioni non sono sempre le stesse. Ad ogni modo, ho visto indicare il laplaciano in ambo i modi, anche se personalmente preferisco $\Delta$.
"rinaldo90":
Dopodichè: come si calcola il simbolo e il simbolo principale di operatori differenziali(in questi due casi anche a coefficienti costanti) ? E applicati a questi due casi?perchè non mi vengono fuori i $\quad - \quad$ che trovo negli appunti?
Anzitutto: che definizione hai di simbolo e di simbolo principale? Che operatori usi? $\partial$? Oppure $D$ che su alcuni testi è $-i\partial$? Tutto dipende da queste cose. Prova un po' a rivedere i tuoi appunti e facci sapere.
Ecco, appunto..il prof in classe ha solo scritto che se ho un operatore del tipo (a coeff cost) $p(D)=\suma_{\alpha}D^{\alpha} \quad \text{con la somma fatta sulla lunghezza di \alpha <= m}$ , allora il suo simbolo è la stessa cosa ma con una variabile $\xi$..
Cosa analoga con il simbolo principale ma facendo la somma solo sulla lunghezza uguale ad m .
Con il simbolo $D_{j}$ intende $\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial_{\x_{j}}}$.
Poi però appunto tira fuori anche la derivata classica (tipo nel calore) e vengono fuori questi meno.
E non me lo so spiegare.
Cosa analoga con il simbolo principale ma facendo la somma solo sulla lunghezza uguale ad m .
Con il simbolo $D_{j}$ intende $\frac{1}{i} \frac{\partial}{\partial_{\x_{j}}}$.
Poi però appunto tira fuori anche la derivata classica (tipo nel calore) e vengono fuori questi meno.
E non me lo so spiegare.
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