Operatori differenziabili
L'operatore differenziabile agisce come una trasformazione lineare. Sappiamo che ad ogni trasformazione lineare è rappresentabile con una matrice. È possibile associare una matrice all'operatore differenziabile? Se si come si può fare?
Se prendiamo ad esempio la derivata di una funzione e la vediamo come un operatore che manda una funzione calcolata in un punto in un altra funzione che ha in quel punto il valore della derivata in certi casi risulta molto semplice. Ad esempio se prendiamo $f(x) = x^2 $ la matrice sará semplicemente il valore reale $2$ , ma in generale?
Grazie
Se prendiamo ad esempio la derivata di una funzione e la vediamo come un operatore che manda una funzione calcolata in un punto in un altra funzione che ha in quel punto il valore della derivata in certi casi risulta molto semplice. Ad esempio se prendiamo $f(x) = x^2 $ la matrice sará semplicemente il valore reale $2$ , ma in generale?
Grazie
Risposte
Se $f:RR\to RR$ è derivabile in $x_0$, allora il suo differenziale è l'applicazione lineare $\text{d}_{x_0}f: h\mapsto f'(x_0)h$, che è rappresentata dal numero (matrice $1\times1$) $f'(x_0)$.
Se $f:RR^n\to RR$ è differenziabile in $x_0$, allora il suo differenziale è l'applicazione lineare $\text{d}_{x_0}f: h\mapsto \nabla f(x_0)\cdot h$, che è rappresentata dal vettore riga (matrice $1\times n$) $\nabla f(x_0)$.
Se $f:RR^n\to RR^k$ è differenziabile in $x_0$, allora il suo differenziale è l'applicazione lineare $\text{d}_{x_0}f: h\mapsto J_{f} (x_0)h$, che è rappresentata dalla matrice (di ordine $k\times n$) $J_{f} (x_0)$.
Il tutto rispetto alle basi canoniche di $RR$, $RR^n$ e $RR^k$.
Ti sei confuso: il differenziale di $f(x)=x^2$ è diverso in ogni punto $x_0$ e vale (leggi: "è rappresentato dal numero") $2x_0$.
Se $f:RR^n\to RR$ è differenziabile in $x_0$, allora il suo differenziale è l'applicazione lineare $\text{d}_{x_0}f: h\mapsto \nabla f(x_0)\cdot h$, che è rappresentata dal vettore riga (matrice $1\times n$) $\nabla f(x_0)$.
Se $f:RR^n\to RR^k$ è differenziabile in $x_0$, allora il suo differenziale è l'applicazione lineare $\text{d}_{x_0}f: h\mapsto J_{f} (x_0)h$, che è rappresentata dalla matrice (di ordine $k\times n$) $J_{f} (x_0)$.
Il tutto rispetto alle basi canoniche di $RR$, $RR^n$ e $RR^k$.
Ti sei confuso: il differenziale di $f(x)=x^2$ è diverso in ogni punto $x_0$ e vale (leggi: "è rappresentato dal numero") $2x_0$.
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