Operatori compatti

[super_al57]

Ciao a tutti, mi servirebbe una mano anche per questi esercizi:
1) Siano $H_1, H_2, H_3$ spazi di Hilbert, e $A:H_1\rightarrow \H_2$ operatore lineare limitato e $\T:H_2\rightarrow H_3$ operatore compatto. Provare che $T \circA$ è compatto

2) Siano $H_1, H_2$ Hilbert e $T:H_1\rightarrow H_2$ operatore compatto, e $T^\star$ il suo aggiunto
i) Provare che per ogni successione $(u_n)$ limitata $T(T^\star(u_n))$ ha sotto successione convergente, che indicheremo $u_{n_h}$
ii) Usando l'affermazione precedente provare che $T^\star(u_{h_n})$ è di Cauchy
iii) dedurne che $T^\star$ è compatto

[Rigel1]

[xdom="Rigel"]Come da regolamento, dovresti prima proporre qualche tuo tentativo di risoluzione.[/xdom]

[super_al57]

per l'1 va bene dire che un operatore compatto è limitato, quindi continuo e quindi se prendo un compatto in H3 la sua retroimmagine è un compatto. Analogamente se prendo un compatto in H2 mi va a finire in un compatto in H1 (un operatore lineare limitato è anche continuo). Quindi la composizione dei due operatori mi porta un compatto di H3 in H1.

2) zero idee...