Operatori chiusi e limitati
Scusate, c'è un teorema che mi garantisce che un operatore limitato definito su un sottoinsieme di uno spazio di Banach è automaticamente chiuso?
Grazie a tutti
Grazie a tutti
Risposte
Che intendi con chiuso? Nel contesto degli operatori, di solito, si dice chiuso per dire "che ha grafico chiuso". Se è così, allora ti ricordo che qualunque funzione continua (a valori in uno spazio di Hausdorff, anche non lineare) ha grafico chiuso.
Ti faccio notare, comunque, che l'implicazione "interessante" è quella inversa che è data dal teorema del grafico chiuso: un operatore chiuso definito su un sottospazio chiuso di un Banach (serve la completezza) è continuo, cioè limitato. Spero di aver risposto alla tua domanda.
Ti faccio notare, comunque, che l'implicazione "interessante" è quella inversa che è data dal teorema del grafico chiuso: un operatore chiuso definito su un sottospazio chiuso di un Banach (serve la completezza) è continuo, cioè limitato. Spero di aver risposto alla tua domanda.
Grazie della risposta, però non ho capito.
Io ho un operatore limitato $A:D\subseteqC(X)\toC(X)$, per operatore chiuso intendo che ha grafico chiuso.
Come posso concludere che $A$ è chiuso?
Io ho un operatore limitato $A:D\subseteqC(X)\toC(X)$, per operatore chiuso intendo che ha grafico chiuso.
Come posso concludere che $A$ è chiuso?
Ribadisco quanto detto: è un fatto di topologia generale, esula dal contesto di analisi funzionale. Se $X,Y$ sono spazi topologici, $Y$ è Hausdorff e $f:X \to Y$ è continua, allora il grafico di $f$ è chiuso nel prodotto.
Ti consiglio di provare a fare la dimostrazione per esercizio, è piuttosto utile.
(Super) Hint: prova a considerare il complementare del grafico e vedi se riesci a dimostrare che è aperto, usando -nell'ordine- il fatto che $Y$ è T2 e poi la continuità di $f$...
Ti consiglio di provare a fare la dimostrazione per esercizio, è piuttosto utile.
(Super) Hint: prova a considerare il complementare del grafico e vedi se riesci a dimostrare che è aperto, usando -nell'ordine- il fatto che $Y$ è T2 e poi la continuità di $f$...
Ok, adesso credo di aver capito. Ora provo a dimostrarlo.
Grazie mille!
Grazie mille!
Comunque, se invece della caratterizzazione "topologica" proposta da Paolo provi a riflettere sulla caratterizzazione "per successioni" degli operatori chiusi, IMHO diventa ancora più ovvio.
Quello che voglio dire è che l'operatore $(A, D(A))$ è chiuso se e solo se:
per ogni successione $x_n\in D(A)$ convergente verso $x$ e tale che $Ax_n$ converge a qualcosa, diciamo $Ax_n\to y$, si ha che $Ax_n$ converge al limite "giusto", ovvero $x\in D(A)$ e $y=Ax$.
Questa formulazione mette bene in luce il fatto che la chiusura di un operatore è in effetti una forma di continuità, anche se solo a metà. Un operatore limitato verifica banalmente questa condizione, perché esso è continuo.
per ogni successione $x_n\in D(A)$ convergente verso $x$ e tale che $Ax_n$ converge a qualcosa, diciamo $Ax_n\to y$, si ha che $Ax_n$ converge al limite "giusto", ovvero $x\in D(A)$ e $y=Ax$.
Questa formulazione mette bene in luce il fatto che la chiusura di un operatore è in effetti una forma di continuità, anche se solo a metà. Un operatore limitato verifica banalmente questa condizione, perché esso è continuo.
"dissonance":
Un operatore limitato verifica banalmente questa condizione, perché esso è continuo.
Mmmm... Ma non è specificato da nessuna parte che \(A\) sia lineare, o sbaglio?
Insomma, lo stiamo dando per scontato anche se lo OP non ha mai imposto questa condizione; quindi, la limitatezza non è ancora dato sapere se implica la continuità o no.
@gugo: sì, ho dato per scontata la linearità, mea culpa. Per me operatore (definito tra spazi vettoriali) = funzione lineare. Se no, dico funzione o mappa. Ma so che le denominazioni non sono universali, anzi...
Si, scusate l'operatore era anche lineare.
Grazie a entrambi per l'aiuto
Grazie a entrambi per l'aiuto
Nessuno. Quell'operatore è invertibile esattamente quando $1/c$ non è nello spettro di $A$.
Probabilmente, $c$ non è una costante positiva a caso, ma è scelta opportunamente (idea: $c$ è tale che \( \frac{1}{c} \) non è nello spettro di $A$: questa condizione ti dice appunto che quell'operatore lì è invertibile).
Però è davvero troppo generico per come l'hai scritto, non sappiamo neanche che teorema che stai dimostrando; prova a riportare qualche dettaglio in più.
Però è davvero troppo generico per come l'hai scritto, non sappiamo neanche che teorema che stai dimostrando; prova a riportare qualche dettaglio in più.
Scusate ho modificato il messaggio precedente, cancellando la domanda, non mi ero accorta che qualcuno aveva già risposto.
In realtà penso di aver capito, sono riuscita a dimostrare che $\||f\||\leq\||(\mathbb{I}-cA)f\||$ e questo se non mi sbaglio dovrebbe garantirmi che $(\mathbb{I}-cA)$ ha inverso limitato la cui norma è $\leq 1$ giusto?
In realtà penso di aver capito, sono riuscita a dimostrare che $\||f\||\leq\||(\mathbb{I}-cA)f\||$ e questo se non mi sbaglio dovrebbe garantirmi che $(\mathbb{I}-cA)$ ha inverso limitato la cui norma è $\leq 1$ giusto?
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