Operatori aggiunti e topologia debole-*
Sono arrivato ad una conclusione evidentemente assurda ma non riesco a capire dove sbaglio, ve la propongo.
Proposizione: Siano $X, Y$ due spazi normati, $A:X\toY$ un operatore lineare (non necessariamente continuo). Allora l'operatore aggiunto $A':Y'\toX'$ è continuo rispetto alle topologie deboli-* di $Y'$ e $X'$ (ovvero le $sigma(Y';Y), sigma(X';X)$ usando le notazioni del Brezis).
dim.: $A'$ è definito dall'equazione $\langleA'y', x\rangle=\langley', Ax\rangle$. Prendiamo una successione $(y'_{n})$ in $Y'$ tale che $y'_n\toy'\inY'$ debolmente-*. Affermo che allora $A'y'_n\toA'y'\inX'$ debolmente-*.
Infatti per ipotesi $\langley'_n, y\rangle\to\langley', y\rangle$ per ogni $y\inY$. La formula seguente
$\langleA'y'_n, x\rangle=\langley'_n, Ax\rangle\to\langley', Ax\rangle=\langleA'y', x\rangle$
valida per ogni $x\inX$, mostra che $A'y'_n\toA'y'$ debolmente-*.
Dov'è l'errore?
P.S.: C'è un modo per scrivere i simboli di convergenza debole (ovvero le frecce ad arpione) in MathML ?
Proposizione: Siano $X, Y$ due spazi normati, $A:X\toY$ un operatore lineare (non necessariamente continuo). Allora l'operatore aggiunto $A':Y'\toX'$ è continuo rispetto alle topologie deboli-* di $Y'$ e $X'$ (ovvero le $sigma(Y';Y), sigma(X';X)$ usando le notazioni del Brezis).
dim.: $A'$ è definito dall'equazione $\langleA'y', x\rangle=\langley', Ax\rangle$. Prendiamo una successione $(y'_{n})$ in $Y'$ tale che $y'_n\toy'\inY'$ debolmente-*. Affermo che allora $A'y'_n\toA'y'\inX'$ debolmente-*.
Infatti per ipotesi $\langley'_n, y\rangle\to\langley', y\rangle$ per ogni $y\inY$. La formula seguente
$\langleA'y'_n, x\rangle=\langley'_n, Ax\rangle\to\langley', Ax\rangle=\langleA'y', x\rangle$
valida per ogni $x\inX$, mostra che $A'y'_n\toA'y'$ debolmente-*.
Dov'è l'errore?
P.S.: C'è un modo per scrivere i simboli di convergenza debole (ovvero le frecce ad arpione) in MathML ?
Risposte
Il fatto e' che $A'y'$ non e' in $X'$
Oh, benissimo! Grazie mille Vicious. Quindi la dimostrazione precedente funziona se e solo se $A$ è un operatore continuo. Pertanto possiamo concludere che gli aggiunti degli operatori continui sono (oltre che continui rispetto alla norma) anche debolmente-* continui, direi.
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Un dettaglio: Veramente ci sarebbe una cosina di carattere topologico che non saprei giustificare. Qui abbiamo mostrato la continuità per successioni, che in contesti topologici non metrizzabili potrebbe non essere equivalente alla continuità. Nel contesto delle topologie deboli le due formulazioni della continuità sono equivalenti?
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Un dettaglio: Veramente ci sarebbe una cosina di carattere topologico che non saprei giustificare. Qui abbiamo mostrato la continuità per successioni, che in contesti topologici non metrizzabili potrebbe non essere equivalente alla continuità. Nel contesto delle topologie deboli le due formulazioni della continuità sono equivalenti?
In realta' la situazione e' piu' complessa (e costituisce un ramo dell'analisi funzionale, che peraltro e' da un po' che non pratico).
Quando si parla di operatori lineari non continui e' abbastanza naturale che non siano definiti su tutto lo spazio ma che abbiano
un loro dominio che e' un sottospazio vettoriale (non chiuso) dello spazio di Banach di partenza. Per esempio l'operatore di derivazione
pensato sullo spazio delle continue ha come dominio le funzioni derivabili.
Se ti metti in quest'ottica allora il tuo $A'$ puo' esistere, avendo un dominio non necessariamente coincidente con tutto $Y'$, ma costituito solo
da quegli elementi $y'\in Y'$ tali che $x\mapsto$ e' continuo (e quindi definisce un elemento di $X'$).
Lo studio di questi operatori e' abbastanza variegato e puoi rinviarlo a quando ti servira' - comunque spero che quanto ti ho accennato renda l'idea di
quello che c'e' sotto.
Riguardo all'ultima domanda mi pare un fatto standard che se $A:X\to Y$ e' lineare e continuo, allora da $x_n\to x$ debole in $X$ segue $A x_n\to A_x$ debole in $Y$
(con dimostrazione analoga alla tua) - ho l'impressione (ma potrei sbagliarmi - sono un po' arrugginito di questi tempi) che usando Hahn Banach si veda che la continuita' e' anche topologica e non solo sequenziale. Magari ci penso un momento
Quando si parla di operatori lineari non continui e' abbastanza naturale che non siano definiti su tutto lo spazio ma che abbiano
un loro dominio che e' un sottospazio vettoriale (non chiuso) dello spazio di Banach di partenza. Per esempio l'operatore di derivazione
pensato sullo spazio delle continue ha come dominio le funzioni derivabili.
Se ti metti in quest'ottica allora il tuo $A'$ puo' esistere, avendo un dominio non necessariamente coincidente con tutto $Y'$, ma costituito solo
da quegli elementi $y'\in Y'$ tali che $x\mapsto
Lo studio di questi operatori e' abbastanza variegato e puoi rinviarlo a quando ti servira' - comunque spero che quanto ti ho accennato renda l'idea di
quello che c'e' sotto.
Riguardo all'ultima domanda mi pare un fatto standard che se $A:X\to Y$ e' lineare e continuo, allora da $x_n\to x$ debole in $X$ segue $A x_n\to A_x$ debole in $Y$
(con dimostrazione analoga alla tua) - ho l'impressione (ma potrei sbagliarmi - sono un po' arrugginito di questi tempi) che usando Hahn Banach si veda che la continuita' e' anche topologica e non solo sequenziale. Magari ci penso un momento
"ViciousGoblin":
Lo studio di questi operatori e' abbastanza variegato e puoi rinviarlo a quando ti servira' - comunque spero che quanto ti ho accennato renda l'idea di
quello che c'e' sotto.
Certo che rende l'idea. Mi è utile perché mi ha permesso di capire un po' meglio alcune scelte del mio professore di analisi funzionale: a un certo punto del corso, di punto in bianco, ha trattato un pochino di operatori chiusi, e non risucivo a capire perché non fossero ovunque definiti come tutti gli altri. Ora ho capito: tutti gli altri operatori visti erano limitati.
In effetti gli operatori chiusi sono quelli che si studiano quando si fanno operatori non limitati - in questa situazione e' inevitabile che non siano definiti su tutto lo spazio, dato che un operatore
chiuso definito su tutto e' automaticamente limitato (e' una conseguenza del teorema dell'applicazione aperta).
Visto che ho lasciato in sospeso la questione ti faccio vedere che un qualunque operatore limitato $A$ e' continuo rispetto alle topologie deboli. Ho trovato l'enunciato in varie parti
ma le dimostrazioni usavano sempre delle proprieta' pregresse che non avevo voglia di andarmi a controllare, per cui mi sono rifatto la dimostrazione cercando di partire solo dalle
definizioni di base. Credo che sia corretta, anche se come dicevo sono un po' arrugginito in queste questioni (che ti devo confessare non si incontrano molto nelle applicazioni, in cui
la convergenza debole sequenziale fa da padrona).
Parto dal fatto che la convergenza debole e' la topologia meno fine che rende continui tutti i funzionali lineari continui (nella topologia forte).
Dati $X$ e $Y$ chiamo allora $\tau_X$ e $\tau_Y$ i rispettivi insiemi degli aperti deboli in $X$ e $Y$. Dato un operatore continuo $A:X\to Y$ chiamo $\tau'$ la controimmagine di
$\tau_Y$ secondo $A$, cioe' $\tau':={A^{-1}(W):W\in \tau_Y}$. Credo sia ovvio che $\tau'$ e' una topologia su $X$ che rende continua $A$ come mappa da $(X;\tau')$ in $Y,\tau_Y)$.
Se dimostro che $\tau'\subset\tau_X$ ho finito.
Per questo prendiamo $V$ in $\tau'$ - per definizione esiste $W$ in $\tau_Y$ tale che $V=A^{-1}(W)$.
Dico (e questo e' il punto delicato in cui potrei sbagliarmi) che deve esistere un funzionale $y'$ in $Y'$ e un aperto $U$ in $RR$ tale che $W=(y')^{-1}(U)$. Infatti se
$\tau^\star:={(y')^{-1}(U'):U' " aperto in "RR, y'\in Y'}$ induce una topologia in $Y$ che rende continui tutti i gli elementi di $Y'$, e quindi, per la minimalita', $\tau_Y\subset \tau^\star$.
Inoltre $x':=y'\circ A$ e' un elemento di $X'$ (perche' $A$ e' lineare e continuo) dunque $(x')^{-1}(U)\in\tau_X$. Ma $(x')^{-1}(U)=(y'\circ A)^{-1}(U)=A^{-1}((y')^{-1}(U))=A^{-1}(W)=V$
Mah, riguardandola mi sembra corretta - tra l'altro direi che $\tau^\star=\tau_Y$ (anche se non serve).
chiuso definito su tutto e' automaticamente limitato (e' una conseguenza del teorema dell'applicazione aperta).
Visto che ho lasciato in sospeso la questione ti faccio vedere che un qualunque operatore limitato $A$ e' continuo rispetto alle topologie deboli. Ho trovato l'enunciato in varie parti
ma le dimostrazioni usavano sempre delle proprieta' pregresse che non avevo voglia di andarmi a controllare, per cui mi sono rifatto la dimostrazione cercando di partire solo dalle
definizioni di base. Credo che sia corretta, anche se come dicevo sono un po' arrugginito in queste questioni (che ti devo confessare non si incontrano molto nelle applicazioni, in cui
la convergenza debole sequenziale fa da padrona).
Parto dal fatto che la convergenza debole e' la topologia meno fine che rende continui tutti i funzionali lineari continui (nella topologia forte).
Dati $X$ e $Y$ chiamo allora $\tau_X$ e $\tau_Y$ i rispettivi insiemi degli aperti deboli in $X$ e $Y$. Dato un operatore continuo $A:X\to Y$ chiamo $\tau'$ la controimmagine di
$\tau_Y$ secondo $A$, cioe' $\tau':={A^{-1}(W):W\in \tau_Y}$. Credo sia ovvio che $\tau'$ e' una topologia su $X$ che rende continua $A$ come mappa da $(X;\tau')$ in $Y,\tau_Y)$.
Se dimostro che $\tau'\subset\tau_X$ ho finito.
Per questo prendiamo $V$ in $\tau'$ - per definizione esiste $W$ in $\tau_Y$ tale che $V=A^{-1}(W)$.
Dico (e questo e' il punto delicato in cui potrei sbagliarmi) che deve esistere un funzionale $y'$ in $Y'$ e un aperto $U$ in $RR$ tale che $W=(y')^{-1}(U)$. Infatti se
$\tau^\star:={(y')^{-1}(U'):U' " aperto in "RR, y'\in Y'}$ induce una topologia in $Y$ che rende continui tutti i gli elementi di $Y'$, e quindi, per la minimalita', $\tau_Y\subset \tau^\star$.
Inoltre $x':=y'\circ A$ e' un elemento di $X'$ (perche' $A$ e' lineare e continuo) dunque $(x')^{-1}(U)\in\tau_X$. Ma $(x')^{-1}(U)=(y'\circ A)^{-1}(U)=A^{-1}((y')^{-1}(U))=A^{-1}(W)=V$
Mah, riguardandola mi sembra corretta - tra l'altro direi che $\tau^\star=\tau_Y$ (anche se non serve).
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