Operatori

[Principe2]

Mostrare che un operatore A lineare e continuo da uno spazio normato ad un altro è anche limitato, nel senso che esiste una costante M tale che $||A(x)||\leM||x||

ciao, ubermensch

[wedge]

penso si possa fare così:
operatore L da X a Y normati
prendiamo un vettore x dello spazio X, e lo dividiamo per la sua norma: $ vec x / ||vec x|| $
l'insieme di tutti questi versori è un'ipersfera, ossia un compatto, quindi per Weierstrass l'operatore continuo $L [ vecx / ||vecx|| ]$ ammette massimo e minimo, dunque
$|| L [ vecx / ||vecx|| ] ||< K $
visto che L è lineare possiamo portare fuori ||x|| dall'operatore, quindi
$||(L[vecx]) || / ||vecx|| < K $

ho scritto castronerie?

ora mi sto interrogando sulla proposizione inversa, ossia operatore limitato ----> continuo, ne sai qualcosa?

[irenze]

"wedge":
l'insieme di tutti questi versori è un'ipersfera, ossia un compatto

in uno spazio normato di dimensione infinita la sfera unitaria NON è MAI compatta!!!

[wedge]

"irenze":[quote="wedge"]
l'insieme di tutti questi versori è un'ipersfera, ossia un compatto

in uno spazio normato di dimensione infinita la sfera unitaria NON è MAI compatta!!![/quote]

sicuramente hai ragione. ma tieni conto che per ora conosco solo gli spazi di dimensione finita...
avrei dovuto puntualizzarlo.
almeno la dimostrazione è giusta in questo caso particolare?

[irenze]

sì, certo.

[irenze]

suggerimento: se $A$ non è limitato, esiste una successione $x_n$ su cui $||A(x/{||x||})||$ diverge, ad esempio $||A(x_n)||\ge n||x_n||$. cosa possiamo dire allora sulla successione $y_n=1/n x_n/{||x_n||}$?

[Andrea2976]

Un operatore lineare è continuo se e solo se è continuo nell'origine da qui segue semplicemente la limitatezza.
In più si dimostra che un operatore lineare è continuo se e solo se è limitato.
Le dimostrazioni sono una semplice applicazione della linearità alla norma dell'operatore.
Sia X,Y normati sia L lineare e continuo la norma di L è definita così
||L||=sup_{x \in X}||L(x)||/||x|| (dove ||L(x)|| è la norma nello spazio Y e ||x|| è la norma nello spazio X)
Le dimostrazioni si trovano su qualsiasi libro di analisi funzionale.