Operatori

[Tomt1]

La mia domanda è: l'operatore di parità mi porta una riflessione sulle variabili su cui agisce; posso applicare "a destra e sinistra" di un'uguaglianza uno stesso operatore di parità S facendolo agire su variabili diverse?
Cioè se ho un'uguaglianza

f(x)=g(w)

è vero che

Sf(x)=Sg(w) ?

Spero possiate aiutarmi Grazie in anticipo

[dissonance]

Secondo me si, ma occhio, mi pare facile sbagliare. Immagino infatti che $x$ e $w$ a loro volta siano legate da qualche relazione, e se ci sono di mezzo dei quadrati (che si mangiano le riflessioni indotte da $S$), uno facilmente arriva a conclusioni strampalate.

Esempio. Consideriamo $f(x)=\sin(x)$ con $x\ge 0$. Introduciamo una nuova variabile $x=w^2$. Abbiamo quindi la relazione $f(x)=\sin x= \sin w^2=g(w)$. Applicando $S$ ad ambo i membri troviamo che
\[
Sf(x)=\sin(-x)=Sg(w)=\sin ((-w)^2)=g(w).\]
Ma $g(w)=f(x)$, da cui $Sf(x)=f(x)$, ossia $\sin(-x)=\sin x$, che è sbagliato.

Dov'è l'errore? Sta nel fatto che abbiamo perso per strada la condizione $x\ge 0$ quando abbiamo applicato $S$.

Invece di usare questo operatore $S$, io introdurrei due nuove variabili $\tilde{x}=-x$ e $\tilde{w}=-w$. In questo modo si passa tranquillamente da $f(x)=g(w)$ a $f(-\tilde{x})=g(-\tilde{w})$. Questo procedimento è più "fool-proof", perché tutte le condizioni su $x$ e su $w$ restano registrate come condizioni su $\tilde{x}$ e $\tilde{w}$.

Spero di essermi spiegato.

[Tomt1]

Grazie mille! Ti sei spiegato benissimo, in effetti era proprio una questione concettualmente simile che non consideravo e per questo non tornavano alcune costanti. Grazie ancora