Operatore nabla
È una mezza domanda di fisica, però il problema è che non capisco qualche uguaglianza per via di passaggi che non comprendo appieno, dunque ritengo che la sezione analisi sia la più adatta. Sia il flusso di un fluido perfetto incompressibile ( \( \rho \) costante) con il campo di velocità seguente
\( \vec{u}(x,y,z)=- \omega(r)y \widehat{e}_x + \omega(r)x \widehat{e}_y \)
Dove \( \omega(r) \) è una funzione posiitva e \( r = \sqrt{x^2+y^2} \) il raggio in coordinate cilindriche.
a) Dimostra che il campo di velocità soddisfa l'equazione di continutià per tutte le funzioni \( \omega(r) \) derivabili
b) Determina l'accelerazione di un elemento di fluido in un punto arbitrario.
Non capisco le soluzioni
L'equazione di continuità è la seguente
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u})=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \nabla \cdot \vec{u}= \rho(\frac{\partial (-\omega(r)y)}{\partial x} + \frac{\partial (\omega(r)x)}{\partial y}) \]
Non capisco le seguenti espressioni che utilizza, in particolare l'ultima uguaglianza, nel senso non mi vengono evidenti
\[ \frac{\partial \omega(r)}{\partial x} = \frac{ \partial \omega}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r} \]
Poi sostituisce e ottiene evidentemente zero quindi l'equazione di continutià è soddisfatta.
Per il punto b)
\[ \vec{a} = \frac{d \vec{u}}{dt} = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} = (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} \]
Poi chiaramente
\[ (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}=(-\omega(r)y\frac{\partial}{\partial x} + \omega(r) x \frac{\partial}{\partial y})(- \omega(r)y \widehat{e}_x + \omega(r)x \widehat{e}_y ) \]
Consideriamo solo la componente dell'accelerazione in \( x \), dovrebbe essere
\[ a_x = -\omega(r)y\frac{\partial(- \omega(r)y)}{\partial x} + \omega(r) x \frac{\partial(- \omega(r)y)}{\partial y} = \omega(r)y^2\frac{\partial \omega(r)}{\partial x} - \omega(r) x \frac{\partial \omega(r)y}{\partial y} \]
Fino a qui tutto okay, ma non capisco come mai nelle soluzioni continui in questo modo
\[ = \omega(r)y^2\frac{\partial \omega(r)}{\partial x} - \omega(r) x ( \frac{\partial \omega}{\partial y}y + \omega )= \omega \frac{xy^2}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r} - \omega x (\frac{y^2}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r} + \omega ) =-x\omega^2 \]
In particolar modo non capisco come mai \( \omega(r) x \frac{\partial \omega(r)y}{\partial y} = \omega(r) x ( \frac{\partial \omega}{\partial y}y + \omega ) \)
\( \vec{u}(x,y,z)=- \omega(r)y \widehat{e}_x + \omega(r)x \widehat{e}_y \)
Dove \( \omega(r) \) è una funzione posiitva e \( r = \sqrt{x^2+y^2} \) il raggio in coordinate cilindriche.
a) Dimostra che il campo di velocità soddisfa l'equazione di continutià per tutte le funzioni \( \omega(r) \) derivabili
b) Determina l'accelerazione di un elemento di fluido in un punto arbitrario.
Non capisco le soluzioni
L'equazione di continuità è la seguente
\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \vec{u})=\frac{\partial \rho}{\partial t} + \rho \nabla \cdot \vec{u}= \rho(\frac{\partial (-\omega(r)y)}{\partial x} + \frac{\partial (\omega(r)x)}{\partial y}) \]
Non capisco le seguenti espressioni che utilizza, in particolare l'ultima uguaglianza, nel senso non mi vengono evidenti
\[ \frac{\partial \omega(r)}{\partial x} = \frac{ \partial \omega}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r} \]
Poi sostituisce e ottiene evidentemente zero quindi l'equazione di continutià è soddisfatta.
Per il punto b)
\[ \vec{a} = \frac{d \vec{u}}{dt} = \frac{\partial \vec{u}}{\partial t} + (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} = (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u} \]
Poi chiaramente
\[ (\vec{u} \cdot \nabla)\vec{u}=(-\omega(r)y\frac{\partial}{\partial x} + \omega(r) x \frac{\partial}{\partial y})(- \omega(r)y \widehat{e}_x + \omega(r)x \widehat{e}_y ) \]
Consideriamo solo la componente dell'accelerazione in \( x \), dovrebbe essere
\[ a_x = -\omega(r)y\frac{\partial(- \omega(r)y)}{\partial x} + \omega(r) x \frac{\partial(- \omega(r)y)}{\partial y} = \omega(r)y^2\frac{\partial \omega(r)}{\partial x} - \omega(r) x \frac{\partial \omega(r)y}{\partial y} \]
Fino a qui tutto okay, ma non capisco come mai nelle soluzioni continui in questo modo
\[ = \omega(r)y^2\frac{\partial \omega(r)}{\partial x} - \omega(r) x ( \frac{\partial \omega}{\partial y}y + \omega )= \omega \frac{xy^2}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r} - \omega x (\frac{y^2}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r} + \omega ) =-x\omega^2 \]
In particolar modo non capisco come mai \( \omega(r) x \frac{\partial \omega(r)y}{\partial y} = \omega(r) x ( \frac{\partial \omega}{\partial y}y + \omega ) \)
Risposte
Ciao 3m0o,
Beh, per la a) si tratta della regola della derivazione a catena:
$ \frac{\partial \omega(r)}{\partial x} = \frac{ \partial \omega}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{ \partial \omega}{\partial r} = \frac{x}{sqrt{x^2 + y^2}} \frac{\partial \omega}{\partial r} = \frac{x}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r} $
Per la b) invece mi pare semplicemente la regola di derivazione di un prodotto:
$ \omega(r) x \frac{\partial \omega(r)y}{\partial y} = \omega(r) x (\frac{\partial \omega(r)}{\partial y}y + \frac{\partial y}{\partial y}\omega(r)) = \omega(r) x (\frac{\partial \omega(r)}{\partial y}y + \omega(r)) $
Beh, per la a) si tratta della regola della derivazione a catena:
$ \frac{\partial \omega(r)}{\partial x} = \frac{ \partial \omega}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial r}{\partial x} \frac{ \partial \omega}{\partial r} = \frac{x}{sqrt{x^2 + y^2}} \frac{\partial \omega}{\partial r} = \frac{x}{r} \frac{\partial \omega}{\partial r} $
Per la b) invece mi pare semplicemente la regola di derivazione di un prodotto:
$ \omega(r) x \frac{\partial \omega(r)y}{\partial y} = \omega(r) x (\frac{\partial \omega(r)}{\partial y}y + \frac{\partial y}{\partial y}\omega(r)) = \omega(r) x (\frac{\partial \omega(r)}{\partial y}y + \omega(r)) $
Ciao pilloeffe, cavolo si! Sarà che è tardi per fare queste cose ma proprio non l'ho visto.
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