Operatore lineare in Hilbert
Ciao a tutti,
ho un problema con il seguente esercizio:
Si consideri l'operatore \(\displaystyle T: L^2([0,1]) \to L^2([0,1]) \) definito da :
\(\displaystyle T(f)(t)=tf(t) \)
Dimostrare che il seguente operatore è lineare con \(\displaystyle T=T^* \) (dove \(\displaystyle T^* \) è l'aggiunto di \(\displaystyle T \) ) , ma che non è compatto.
Dimostrare,inoltre, che \(\displaystyle T \) non ha autovettori.
Vediamo che è lineare:
- \(\displaystyle T(f+g)(t) = t(f+g)(t) = t(f(t)+g(t)) = tf(t) + tg(t) = Tf(t) + Tg(T) \qquad \forall f,g \in L^2([0,1]) \)
- \(\displaystyle T(\lambda f)(t) = t\lambda f(t) = \lambda t(f(t) = \lambda T(f)(t) \qquad \forall f \in L^2([0,1]) , \forall \lambda \in \mathbb{R} \)
Vediamo, ora, che \(\displaystyle T=T^* \):
Definiamo \(\displaystyle D(T)= \{ f \in L^2([0,1]) : tf(t) \in L^2([0,1]) \} \); esso è denso (poichè contiene le funzioni di \(\displaystyle L^2([0,1]) \) a supporto compatto.
Se \(\displaystyle g \in D(T^*) \Longrightarrow \exists g^* \in L^2([0,1]) \) tale che
\(\displaystyle \int_0^1 tf(t)\overline{g(t)}dt = \int_0^1 f(t)\overline{g^*(t)} \qquad \forall f \in D(T) \)
ovvero,
\(\displaystyle \int_0^1 f(t) (t\overline{g(t)} - \overline{g^*(t)})dt = 0 \)
allora, si ha che:
\(\displaystyle tg(t)-g^*(t) \) è ortogonale a \(\displaystyle D(T) \), il quale è denso.
Per cui, \(\displaystyle g \in D(T) \) e \(\displaystyle T^*g =Tg \)
Sono riuscita a dimostrare anche che \(\displaystyle T \) non ha autovalori, poichè :
supponiamo che \(\displaystyle Tf=\lambda f \) con \(\displaystyle \lambda \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle f \in H \) , allora si ha :
\(\displaystyle (\lambda- t)f(t) = 0 \) quasi ovunque, allora \(\displaystyle f=0 \) quasi ovunque. Per cui \(\displaystyle f=0 \) in \(\displaystyle L^2([0,1]) \). Quindi non ha autovettori.
Però, non so come far vedere che l'operatore T non è compatto.
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie in anticipo
ho un problema con il seguente esercizio:
Si consideri l'operatore \(\displaystyle T: L^2([0,1]) \to L^2([0,1]) \) definito da :
\(\displaystyle T(f)(t)=tf(t) \)
Dimostrare che il seguente operatore è lineare con \(\displaystyle T=T^* \) (dove \(\displaystyle T^* \) è l'aggiunto di \(\displaystyle T \) ) , ma che non è compatto.
Dimostrare,inoltre, che \(\displaystyle T \) non ha autovettori.
Vediamo che è lineare:
- \(\displaystyle T(f+g)(t) = t(f+g)(t) = t(f(t)+g(t)) = tf(t) + tg(t) = Tf(t) + Tg(T) \qquad \forall f,g \in L^2([0,1]) \)
- \(\displaystyle T(\lambda f)(t) = t\lambda f(t) = \lambda t(f(t) = \lambda T(f)(t) \qquad \forall f \in L^2([0,1]) , \forall \lambda \in \mathbb{R} \)
Vediamo, ora, che \(\displaystyle T=T^* \):
Definiamo \(\displaystyle D(T)= \{ f \in L^2([0,1]) : tf(t) \in L^2([0,1]) \} \); esso è denso (poichè contiene le funzioni di \(\displaystyle L^2([0,1]) \) a supporto compatto.
Se \(\displaystyle g \in D(T^*) \Longrightarrow \exists g^* \in L^2([0,1]) \) tale che
\(\displaystyle \int_0^1 tf(t)\overline{g(t)}dt = \int_0^1 f(t)\overline{g^*(t)} \qquad \forall f \in D(T) \)
ovvero,
\(\displaystyle \int_0^1 f(t) (t\overline{g(t)} - \overline{g^*(t)})dt = 0 \)
allora, si ha che:
\(\displaystyle tg(t)-g^*(t) \) è ortogonale a \(\displaystyle D(T) \), il quale è denso.
Per cui, \(\displaystyle g \in D(T) \) e \(\displaystyle T^*g =Tg \)
Sono riuscita a dimostrare anche che \(\displaystyle T \) non ha autovalori, poichè :
supponiamo che \(\displaystyle Tf=\lambda f \) con \(\displaystyle \lambda \in \mathbb{R} \) e \(\displaystyle f \in H \) , allora si ha :
\(\displaystyle (\lambda- t)f(t) = 0 \) quasi ovunque, allora \(\displaystyle f=0 \) quasi ovunque. Per cui \(\displaystyle f=0 \) in \(\displaystyle L^2([0,1]) \). Quindi non ha autovettori.
Però, non so come far vedere che l'operatore T non è compatto.
Qualcuno può darmi una mano?
Grazie in anticipo
Risposte
Sull'argomento non so molto, ma la curiosità mi ha spinto a cercare e ho trovato una definizione di compattezza operatoriale che forse può aiutarti:
Pensavo alla successione di funzioni $f_n(t)=\sin(nt)$.
In attesa di risposte più attendibili che chiariranno i tuoi dubbi e...i miei.
Un operatore limitato[nota]L'operatore $T$ è limitato perché è autoaggiunto (Teorema di Hellinger-Toeplitz).[/nota] $T : X \mapsto Y$ si dice compatto se e solo se per ogni ${x_n}_n sub X$ limitata è possibile estrarre una sottosuccessione di ${Tx_n}_n$ convergente in $Y$.
Pensavo alla successione di funzioni $f_n(t)=\sin(nt)$.
In attesa di risposte più attendibili che chiariranno i tuoi dubbi e...i miei.
Innanzitutto grazie per la risposta e per la definizione! 
Al posto di $ f_n(t)=\sin(nt) $, ho pensato di prendere una successione \(\displaystyle \{ f_\epsilon \} \) definita così:
\(\displaystyle f_\epsilon (x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } 0 \leq x \leq 1-\epsilon \\ 1, & \mbox{se } 1-\epsilon < x \leq 1
\end{cases} \)
Si ha, quindi:
\(\displaystyle ||f_\epsilon ||_2^2 = \int_0^1 |f_\epsilon (x) |^2 dx= \int_0^{1-\epsilon} |f_\epsilon (x) |^2 dx + \int_{1-\epsilon}^1 |f_\epsilon (x) |^2 dx = 1 \)
Ma
\(\displaystyle ||Tf_\epsilon||_2^2 = \int_0^1 |t|^2 |f_\epsilon (t)|^2 dt= \int_0^{1-\epsilon} |t|^2|f_\epsilon (t)|^2 dt + \int_{1-\epsilon}^1 |t|^2|f_\epsilon (t)|^2 dt = \int_{1-\epsilon}^1 |t|^2 dt = \left[\frac{t^3}{3} \right]_{1-\epsilon}^1 = \frac{\epsilon}{3}\to \infty \ \text{per} \ \epsilon \to \infty \)
Quindi dalla successione \(\displaystyle \{ Tf_\epsilon \} \)non è possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Per cui T non è compatto.
Può andar bene così oppure ho scritto scemenze ?
Al posto di $ f_n(t)=\sin(nt) $, ho pensato di prendere una successione \(\displaystyle \{ f_\epsilon \} \) definita così:
\(\displaystyle f_\epsilon (x) = \begin{cases} 0, & \mbox{se } 0 \leq x \leq 1-\epsilon \\ 1, & \mbox{se } 1-\epsilon < x \leq 1
\end{cases} \)
Si ha, quindi:
\(\displaystyle ||f_\epsilon ||_2^2 = \int_0^1 |f_\epsilon (x) |^2 dx= \int_0^{1-\epsilon} |f_\epsilon (x) |^2 dx + \int_{1-\epsilon}^1 |f_\epsilon (x) |^2 dx = 1 \)
Ma
\(\displaystyle ||Tf_\epsilon||_2^2 = \int_0^1 |t|^2 |f_\epsilon (t)|^2 dt= \int_0^{1-\epsilon} |t|^2|f_\epsilon (t)|^2 dt + \int_{1-\epsilon}^1 |t|^2|f_\epsilon (t)|^2 dt = \int_{1-\epsilon}^1 |t|^2 dt = \left[\frac{t^3}{3} \right]_{1-\epsilon}^1 = \frac{\epsilon}{3}\to \infty \ \text{per} \ \epsilon \to \infty \)
Quindi dalla successione \(\displaystyle \{ Tf_\epsilon \} \)non è possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Per cui T non è compatto.
Può andar bene così oppure ho scritto scemenze ?
$f_{\epsilon}$ non è ben definita, poiché la funzione deve essere quadrato sommabile in [0,1] e non necessariamente fuori e quindi in $[1- \epsilon, 1]$ con $\epsilon>1$...
"dan95":
$f_{\epsilon}$ non è ben definita, poiché la funzione deve essere quadrato sommabile in [0,1] e non necessariamente fuori e quindi in $[1- \epsilon, 1]$ con $\epsilon>1$...
Mmm.. scusami non mi è chiaro.
Quindi devo specificare che prendo un $\epsilon$ : $0<\epsilon<1$ ?
Oppure è proprio sbagliata la funzione?
Si scusa mi sono spiegato male...
Devi prendere una successione di funzioni quindi perforza $\epsilon \in NN$, ed è proprio per questo che non va perché per esempio $\epsilon =2$ è definita così:
${(0,\ se\ 0\leq x \leq -1),(1,\ se\ -1
$f_n={(0,\ se\ 0\leq x \leq 1-1/n),(1,\ se\ 1-1/n
Vogliamo prendere una successione funzione $f_n \in L^2([0,1])$ limitata e fin qui ci siamo infatti
$f_n={(0,\ se\ 0\leq x \leq 1-1/n),(1,\ se\ 1-1/n
$Tf_n={(0,\ se\ 0\leq x \leq 1-1/n),(x,\ se\ 1-1/n
"Gaia88":
Quindi devo specificare che prendo un εε : 0<ε<1 ?
Devi prendere una successione di funzioni quindi perforza $\epsilon \in NN$, ed è proprio per questo che non va perché per esempio $\epsilon =2$ è definita così:
${(0,\ se\ 0\leq x \leq -1),(1,\ se\ -1
$f_n={(0,\ se\ 0\leq x \leq 1-1/n),(1,\ se\ 1-1/n
Vogliamo prendere una successione funzione $f_n \in L^2([0,1])$ limitata e fin qui ci siamo infatti
$f_n={(0,\ se\ 0\leq x \leq 1-1/n),(1,\ se\ 1-1/n
$Tf_n={(0,\ se\ 0\leq x \leq 1-1/n),(x,\ se\ 1-1/n
Ciao! Ora è tutto più chiaro Ovviamente quella successione di funzioni non è ben definita... quindi siamo al punto da capo 
Ho provato a risolverlo usando la successione che pensavi tu inizialmente:
Questa è ben definita ed è limitata (mi viene \(\displaystyle ||f_n||_2^2 = \frac{1}{2} \)), il problema è che mi viene che anche la successione \(\displaystyle ||Tf_n||_2^2 \) è limitata.
Ora, non so se ho sbagliato tutto ( spero di no), cmq riporto quello che ho fatto:
Consideriamo la successione $f_n(t)=\sin(nt)$ :
essa è limitata:
\(\displaystyle ||f_n||_2^2 = \int_0^1 |f_n(t)|^2 dt= \int_0^1 |sin(nt)|^2 dt = \left[ \frac{t}{2} - \frac{sin(2nt)}{4n} \right]_0^1 = \frac{1}{2} < \infty \)
Ora,
\(\displaystyle ||Tf_n||_2^2 = \int_0^1 |tsin(nt)|^2 dt= \int_0^1 |t|^2|sin(nt)|^2 dt = \left[ \frac{4n^3t^3 + (3-6n^2t^2)sin(2nt)-6ntcos(2nt)}{24n^3} \right]_0^1 = \frac{4n^3-6n}{24n^3}= \frac{1}{6} < \infty \)
Quindi, se non sbaglio.. nemmeno questa va bene. Vero?
Ovviamente quella successione di funzioni non è ben definita... quindi siamo al punto da capo Ho provato a risolverlo usando la successione che pensavi tu inizialmente:
"dan95":
Pensavo alla successione di funzioni $f_n(t)=\sin(nt)$.
Questa è ben definita ed è limitata (mi viene \(\displaystyle ||f_n||_2^2 = \frac{1}{2} \)), il problema è che mi viene che anche la successione \(\displaystyle ||Tf_n||_2^2 \) è limitata.
Ora, non so se ho sbagliato tutto ( spero di no
), cmq riporto quello che ho fatto:Consideriamo la successione $f_n(t)=\sin(nt)$ :
essa è limitata:
\(\displaystyle ||f_n||_2^2 = \int_0^1 |f_n(t)|^2 dt= \int_0^1 |sin(nt)|^2 dt = \left[ \frac{t}{2} - \frac{sin(2nt)}{4n} \right]_0^1 = \frac{1}{2} < \infty \)
Ora,
\(\displaystyle ||Tf_n||_2^2 = \int_0^1 |tsin(nt)|^2 dt= \int_0^1 |t|^2|sin(nt)|^2 dt = \left[ \frac{4n^3t^3 + (3-6n^2t^2)sin(2nt)-6ntcos(2nt)}{24n^3} \right]_0^1 = \frac{4n^3-6n}{24n^3}= \frac{1}{6} < \infty \)
Quindi, se non sbaglio.. nemmeno questa va bene. Vero?
Il limite della successione $Tf_n=t\sin(nt)$ non esiste q.o.
Ok ci sono!!
Ho abbandonato l'idea iniziale.. e ho pensato di usare la teoria spettrale.
Cioè, sappiamo che se $T$ è un operatore compatto definito su uno spazio di Hilbert $H$ allora lo spettro $\sigma(T)$ è un insieme finito o numerabile che ammette al più $\lambda =0$ come punto di accumulazione.
Ora, lo spettro in questo caso è $\sigma(T)=[0,1]$ perché:
$(T-\lambdaI)^{-1} f(t)= \frac{f(t)}{t-\lambda} $ è non limitato $ \leftrightarrow \lambda \in \overline{(0,1)}=[0,1] $
$[0,1]$ è non numerabile, quindi $T$ non è compatto.
($I$ è l'operatore identità)
E' giusto così, vero?
Ho abbandonato l'idea iniziale.. e ho pensato di usare la teoria spettrale.
Cioè, sappiamo che se $T$ è un operatore compatto definito su uno spazio di Hilbert $H$ allora lo spettro $\sigma(T)$ è un insieme finito o numerabile che ammette al più $\lambda =0$ come punto di accumulazione.
Ora, lo spettro in questo caso è $\sigma(T)=[0,1]$ perché:
$(T-\lambdaI)^{-1} f(t)= \frac{f(t)}{t-\lambda} $ è non limitato $ \leftrightarrow \lambda \in \overline{(0,1)}=[0,1] $
$[0,1]$ è non numerabile, quindi $T$ non è compatto.
($I$ è l'operatore identità)
E' giusto così, vero?
Qui lascio la parola a chi ne sa di più...mi sono spinto fin troppo oltre...
Scusa una cosa....
Perché?
Mi scuso in anticipo per la domanda banale ma proprio non ci arrivo ..
"dan95":
Il limite della successione $Tf_n=t\sin(nt)$ non esiste q.o.
Perché?
Mi scuso in anticipo per la domanda banale ma proprio non ci arrivo ..
Prova a fare il limite puntuale
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