Operatore lineare fortemente continuo
Siano $(X, ||.||_X), (Y,||.||_Y)$ due spazi di Banach e $T:X->Y$ lineare. $T$ è detta fortemente continuo se per ogni successione $(x_n) \in X$ che converge debolmente ad un $x$ allora $Tx_n->Tx$ (fortemente). Mostrare che:
(i) se $T$ è compatto allora è fortemente continuo
(ii) se $T$ è fortemente continuo e $X$ è riflessivo allora $T$ è compatto.
(i) se $T$ è compatto allora è fortemente continuo
(ii) se $T$ è fortemente continuo e $X$ è riflessivo allora $T$ è compatto.
Risposte
"blunotte":
Mi scuso ho postato due volte lo stesso messaggio, ma ho dei problemi di connessione al sito (non so se a causa mia o del sito del forum), cancellate pure l'altro... e scusate ancora!
cancellato; il server è andato giù per i troppi contatti.
Per la parte (ii):
Sia $(x_n)$ una successione limitata in $X$. $X$ è riflessivo perciò ogni successione limitata contiene una sottosuccessione convergente debolmente, i.e. $EE (x_{n_k})->x$ debolmente.
T è fortemente continua perciò $(Tx_{n_k})->Tx$.
Quindi per ogni successione limitata in $X$, $(Tx_n)$ contiene una sottosuccessione $(Tx_{n_k})$ convergente.
Per il teorema che afferma che una funzione lineare è compatta se e solo se per ogni successione limitata in $X$, $(Tx_n)$ contiene una sottosuccessione $(Tx_{n_k})$ convergente abbiamo la tesi.
Sbaglio qualcosa? Ho molti dubbi di tralasciare dettagli rilevanti...perciò scusate se, in alcuni (rari) casi, si tratta solo di correggere!
Ora mi concentro sul primo quesito.
Sia $(x_n)$ una successione limitata in $X$. $X$ è riflessivo perciò ogni successione limitata contiene una sottosuccessione convergente debolmente, i.e. $EE (x_{n_k})->x$ debolmente.
T è fortemente continua perciò $(Tx_{n_k})->Tx$.
Quindi per ogni successione limitata in $X$, $(Tx_n)$ contiene una sottosuccessione $(Tx_{n_k})$ convergente.
Per il teorema che afferma che una funzione lineare è compatta se e solo se per ogni successione limitata in $X$, $(Tx_n)$ contiene una sottosuccessione $(Tx_{n_k})$ convergente abbiamo la tesi.
Sbaglio qualcosa? Ho molti dubbi di tralasciare dettagli rilevanti...perciò scusate se, in alcuni (rari) casi, si tratta solo di correggere!
Ora mi concentro sul primo quesito.
Parte (i):
$T$ è lineare e compatto perciò $T \in X'$. Sia $(x_n) \in X$ tale che converga debolmente a $x\in X$, per definizione questo significa che $AA f \in X'$, $f(x_n)->f(x)$.
Poiché $T\inX'$ banalmente $T(x_n)->T(x)$.
Ma è possibile che sia così facile?!?
$T$ è lineare e compatto perciò $T \in X'$. Sia $(x_n) \in X$ tale che converga debolmente a $x\in X$, per definizione questo significa che $AA f \in X'$, $f(x_n)->f(x)$.
Poiché $T\inX'$ banalmente $T(x_n)->T(x)$.
Ma è possibile che sia così facile?!?
No, sono inciampata in uno stupido errore nella parte (i)
Se $T$ è compatto allora è continuo, ma non è vero che appartiene al duale di $X$ (che è l'insieme degli operatori lineari a valori reali o complessi, non in $Y$!)! Perciò la dimostrazione non vale.
Se $T$ è compatto allora è continuo, ma non è vero che appartiene al duale di $X$ (che è l'insieme degli operatori lineari a valori reali o complessi, non in $Y$!)! Perciò la dimostrazione non vale.
Se non ricordo male un operatore è compatto quando manda insiemi limitati in insiemi relativamente compatti
(tali cioè che la loro chiusura è compatta). Se le cose stanno così, allora le dimostrazioni di (i) e (ii) dovrebbero andare
più o meno come segue:
(i) $T$ compatto implica $T$ fortemente continuo:
$x_n\to x$ (debole) $\Rightarrow (x_n) $ limitata $\Rightarrow (Tx_n) $ relativamente compatta $\Rightarrow (Tx_n) $ relativamente sequenzialmete compatta $\Rightarrow T x_{n_k}\to y$
per un $y$ in $Y$ e per un'opportuna sottosuccessione.
Dimostriamo che $y=Tx$. Per ogni $f$ in $Y'$ ha
$f(T(x_{n_k}))=(f\circ T)(x_{n_k])\to (f\circ T)(x)=f(T(x))$ (perchè $f\circ T\in X'$ - QUI CONTA CHE $T$ è lineare).
Quindi $T(x_{n_k])\to T(x)$ (debole) e per l'unicità del limite debole deve essere $Tx=y$.
A questo punto abbiamo dimostrato che ogni successione $(x_n)$ che converge debolmente a $x$ ammette
una sottosuccessione $(x_{n_k})$ tale che $T(x_{n_k})$ converge debolmente a $T(x)$ - è standard concluderne
che $T(x_n)\to T(x)$ (debole) - senza sottosuccessioni.
(ii) Se $T$ è fortemente continuo e $X$ è riflessivo allora $T$ è compatto.
Sia $E$ limitato in $X$ dobbiamo verificare che $T(E)$ è relativamente compatto.
Se anche $Y$ è riflessivo (??) basta dimostrare che $T(E)$ è relativamente sequenzialmente compatto cioè basta dimostrare che ogni successione in $T(E)$ ammette una sottosuccessione convergente. Sia $(y_n)$ una successione in $T(E)$, allora
$y_n=T(x_n)$ con $(x_n)$ successione in $E$. Allora $(x_n)$ è limitata ed essendo $X$ riflessivo $(x_n)$ ammette
una sottosuccessione $(x_{n_k})$ debolmente convergente a un $x$ di $X$. Essendo $T$ fortemente continuo
$y_{n_k}=T(x_{n_k})\to T(x)$. Quindi $y:=T(x)$ è limite di una sottosuccesione di $(y_n)$.
Ho usato anche la riflessività di $Y$ - credo che non serva perché ci si può probabilmente restrigere alla chiusura di $T(x)$.
Non serve neanche se (come forse è il caso) la tua definizione di operatore compatto prevede che trasformi limitati
in relativamente sequenzialmente compatti (e non in compatti in senso topologico)
(tali cioè che la loro chiusura è compatta). Se le cose stanno così, allora le dimostrazioni di (i) e (ii) dovrebbero andare
più o meno come segue:
(i) $T$ compatto implica $T$ fortemente continuo:
$x_n\to x$ (debole) $\Rightarrow (x_n) $ limitata $\Rightarrow (Tx_n) $ relativamente compatta $\Rightarrow (Tx_n) $ relativamente sequenzialmete compatta $\Rightarrow T x_{n_k}\to y$
per un $y$ in $Y$ e per un'opportuna sottosuccessione.
Dimostriamo che $y=Tx$. Per ogni $f$ in $Y'$ ha
$f(T(x_{n_k}))=(f\circ T)(x_{n_k])\to (f\circ T)(x)=f(T(x))$ (perchè $f\circ T\in X'$ - QUI CONTA CHE $T$ è lineare).
Quindi $T(x_{n_k])\to T(x)$ (debole) e per l'unicità del limite debole deve essere $Tx=y$.
A questo punto abbiamo dimostrato che ogni successione $(x_n)$ che converge debolmente a $x$ ammette
una sottosuccessione $(x_{n_k})$ tale che $T(x_{n_k})$ converge debolmente a $T(x)$ - è standard concluderne
che $T(x_n)\to T(x)$ (debole) - senza sottosuccessioni.
(ii) Se $T$ è fortemente continuo e $X$ è riflessivo allora $T$ è compatto.
Sia $E$ limitato in $X$ dobbiamo verificare che $T(E)$ è relativamente compatto.
Se anche $Y$ è riflessivo (??) basta dimostrare che $T(E)$ è relativamente sequenzialmente compatto cioè basta dimostrare che ogni successione in $T(E)$ ammette una sottosuccessione convergente. Sia $(y_n)$ una successione in $T(E)$, allora
$y_n=T(x_n)$ con $(x_n)$ successione in $E$. Allora $(x_n)$ è limitata ed essendo $X$ riflessivo $(x_n)$ ammette
una sottosuccessione $(x_{n_k})$ debolmente convergente a un $x$ di $X$. Essendo $T$ fortemente continuo
$y_{n_k}=T(x_{n_k})\to T(x)$. Quindi $y:=T(x)$ è limite di una sottosuccesione di $(y_n)$.
Ho usato anche la riflessività di $Y$ - credo che non serva perché ci si può probabilmente restrigere alla chiusura di $T(x)$.
Non serve neanche se (come forse è il caso) la tua definizione di operatore compatto prevede che trasformi limitati
in relativamente sequenzialmente compatti (e non in compatti in senso topologico)
"ViciousGoblinEnters":
(i) $T$ compatto implica $T$ fortemente continuo:
$x_n\to x$ (debole) $\Rightarrow (x_n) $ limitata $\Rightarrow (Tx_n) $ relativamente compatta $\Rightarrow (Tx_n) $ relativamente sequenzialmete compatta $\Rightarrow T x_{n_k}\to y$
per un $y$ in $Y$ e per un'opportuna sottosuccessione.
Dimostriamo che $y=Tx$. Per ogni $f$ in $Y'$ ha
$f(T(x_{n_k}))=(f\circ T)(x_{n_k])\to (f\circ T)(x)=f(T(x))$ (perchè $f\circ T\in X'$ - QUI CONTA CHE $T$ è lineare).
D'accordo su tutto, ma aggiungerei un detteglio: $f\circ T\in X'$ perché, sì, $T$ è lineare, ma più che altro è compatta e quindi continua.($X'$ è un insieme degli operatori lineari e continui)
"ViciousGoblinEnters":
Quindi $T(x_{n_k])\to T(x)$ (debole) e per l'unicità del limite debole deve essere $Tx=y$.
A questo punto abbiamo dimostrato che ogni successione $(x_n)$ che converge debolmente a $x$ ammette
una sottosuccessione $(x_{n_k})$ tale che $T(x_{n_k})$ converge debolmente a $T(x)$
A questo punto per quanto detto sopra non dovremmo dire che converge (fortemente), in fondo volevamo provare la convergenza forte, no? Forse dovremmo mostrare che se una successione converge debolmente ad un valore e la stessa successione converge fortemente ad un altro valore, allora i due valori sono uguali e la successione converge fortemente ad essi. Ma mi pare banale...
"ViciousGoblinEnters":
- è standard concluderne
che $T(x_n)\to T(x)$ (debole) - senza sottosuccessioni.
Standard in che senso?
"ViciousGoblinEnters":
(ii) Se $T$ è fortemente continuo e $X$ è riflessivo allora $T$ è compatto.
Sia $E$ limitato in $X$ dobbiamo verificare che $T(E)$ è relativamente compatto.
Se anche $Y$ è riflessivo (??) basta dimostrare che $T(E)$ è relativamente sequenzialmente compatto cioè basta dimostrare che ogni successione in $T(E)$ ammette una sottosuccessione convergente. Sia $(y_n)$ una successione in $T(E)$, allora
$y_n=T(x_n)$ con $(x_n)$ successione in $E$. Allora $(x_n)$ è limitata ed essendo $X$ riflessivo $(x_n)$ ammette
una sottosuccessione $(x_{n_k})$ debolmente convergente a un $x$ di $X$. Essendo $T$ fortemente continuo
$y_{n_k}=T(x_{n_k})\to T(x)$. Quindi $y:=T(x)$ è limite di una sottosuccesione di $(y_n)$.
Ho usato anche la riflessività di $Y$ - credo che non serva perché ci si può probabilmente restrigere alla chiusura di $T(x)$.
Non serve neanche se (come forse è il caso) la tua definizione di operatore compatto prevede che trasformi limitati
in relativamente sequenzialmente compatti (e non in compatti in senso topologico)
Qui credo che la tua dimostrazione sia completamente analoga alla mia (vedi sopra) e non serve che $Y$ sia riflessivo.
Hai ragione sul fatto che dovevo dire che $T$ è continuo.
Riguardo alla riflessività di $Y$ non sono sicuro che non serva SE la nozione di compattezza è topologica
invece che sequenziale (credo di no ma la dimostrazione che abbiamo fatto non è sufficiente).
Però ho l'impressione che la definizione di operatore compatto che hai tu usi solo la compattezza sequenziale:
$T$ è compatto se manda successioni limitate in successioni relativamente compatte. E' così vero ?
EDIT
Mi sono accorto che c'era un'altra domanda. Siano $X$ e $Y$ spazi topologici.
Siano $f:U\to Y$ è una funzione $U\subset X$, $x_0$ punto di accumulazione per $U$, $l\in Y$.
Allora sono equivalenti:
(a) ogni successione $(x_n)$ in $U\setminus\{x_0\}$ convergente a $x_0$ ha una sottosuccessione $(x_{n_k})$ tale che $f(x_{n_k})\to l$;
(b) ogni successione $(x_n)$ in $U\setminus\{x_0\}$ convergente a $x_0$ verifica $f(x_n)\to l$.
DIM. (b) $\Rightarrow$ (a) è evidente.
(a) $\Rightarrow$ (b) Se (b) non fosse vero ci sarebbe una successione $(x_n)$ su cui $f(x_n)$ non tende a $l$.
Negando la definizione di limite si trova un intorno $V$ di $l$ e una successione estratta $(x_{n_k})$ tale che $f(x_{n_k})\notin V$.
Ma per (a) esiste un'ulteriore estratta $(x_{n_{k_h}})$ tale che $f(x_{n_{k_h}})\to l$ ASSURDO
Riguardo alla riflessività di $Y$ non sono sicuro che non serva SE la nozione di compattezza è topologica
invece che sequenziale (credo di no ma la dimostrazione che abbiamo fatto non è sufficiente).
Però ho l'impressione che la definizione di operatore compatto che hai tu usi solo la compattezza sequenziale:
$T$ è compatto se manda successioni limitate in successioni relativamente compatte. E' così vero ?
EDIT
Mi sono accorto che c'era un'altra domanda. Siano $X$ e $Y$ spazi topologici.
Siano $f:U\to Y$ è una funzione $U\subset X$, $x_0$ punto di accumulazione per $U$, $l\in Y$.
Allora sono equivalenti:
(a) ogni successione $(x_n)$ in $U\setminus\{x_0\}$ convergente a $x_0$ ha una sottosuccessione $(x_{n_k})$ tale che $f(x_{n_k})\to l$;
(b) ogni successione $(x_n)$ in $U\setminus\{x_0\}$ convergente a $x_0$ verifica $f(x_n)\to l$.
DIM. (b) $\Rightarrow$ (a) è evidente.
(a) $\Rightarrow$ (b) Se (b) non fosse vero ci sarebbe una successione $(x_n)$ su cui $f(x_n)$ non tende a $l$.
Negando la definizione di limite si trova un intorno $V$ di $l$ e una successione estratta $(x_{n_k})$ tale che $f(x_{n_k})\notin V$.
Ma per (a) esiste un'ulteriore estratta $(x_{n_{k_h}})$ tale che $f(x_{n_{k_h}})\to l$ ASSURDO
Scusa, nel frattempo ho rimodificato il messaggio di prima perché riflettendoci mi sembrava che qualcosa non tornasse.. puoi dirmi cosa ne pensi?
La mia definizione di operatore compatto è: un operatore è compatto se l'immagine della sfera unitaria è relativamente compatta, cioè se la chiusura dell'immagine della sfera unitaria è compatta in $Y$.
E la condizione necessaria e sufficiente è il teorema che ho scritto prima, cioè per ogni successione limitata in $X$ possiamo estrarre una sottosuccessione di $(Tx_n)$ che sia convergente.
Penso sia lo stesso di dire che manda successioni limitate in successioni relativamente compatte (al momento non mi ricordo cosa significhi successione relativamente compatta... faccio mea culpa
)
In ogni caso sì, la mia definizione non è solo topologica.
La mia definizione di operatore compatto è: un operatore è compatto se l'immagine della sfera unitaria è relativamente compatta, cioè se la chiusura dell'immagine della sfera unitaria è compatta in $Y$.
E la condizione necessaria e sufficiente è il teorema che ho scritto prima, cioè per ogni successione limitata in $X$ possiamo estrarre una sottosuccessione di $(Tx_n)$ che sia convergente.
Penso sia lo stesso di dire che manda successioni limitate in successioni relativamente compatte (al momento non mi ricordo cosa significhi successione relativamente compatta... faccio mea culpa
)In ogni caso sì, la mia definizione non è solo topologica.
"blunotte":
E la condizione necessaria e sufficiente è il teorema che ho scritto prima, cioè per ogni successione limitata in $X$ possiamo estrarre una sottosuccessione di $(Tx_n)$ che sia convergente.
Penso sia lo stesso di dire che manda successioni limitate in successioni relativamente compatte (al momento non mi ricordo cosa significhi successione relativamente compatta... faccio mea culpa
In ogni caso sì, la mia definizione non è solo topologica.
Se quella che scrivi è condizione necessaria e sufficiente allora non serve altro.
Il mio dubbio è come mai quella condizione (che sembra assicurare solo la compattezza sequenziale) sia anche sufficiente
per la compattezza tout court. Ma se mi assicuri che c'è quel teorema ti credo, andro' a guardare i libri (ho studiato analisi
funzionale un po' di tempo fa e ho scordato un po' di sottigliezze)
EDIT
Scusa, continuo a rimanere indietro (e mi stanno chiamando per la cena).
Quello che hai scritto
A questo punto per quanto detto sopra non dovremmo dire che converge (fortemente), in fondo volevamo provare la convergenza forte, no? Forse dovremmo mostrare che se una successione converge debolmente ad un valore e la stessa successione converge fortemente ad un altro valore, allora i due valori sono uguali e la successione converge fortemente ad essi. Ma mi pare banale...
è giustissimo e per quanto possa sembrare banale ti assicuro che è un argomento chiave in una moltitudine di casi.
La convergenza debole "identifica" il limite forte (se questo c'è).
Mi spiace averti creato confusione. E' chiaro che in arrivo (su $Y$) compattezza e compattezza sequenziale sono
equivalenti, visto che $Y$ è uno spazio metrico. Quindi la caratterizzazione con le successioni che dicevi tu
è perfettamente sensata.
Scusa. Mi ero confuso con le questioni di compattezza debole, dove compattezza e compattezza sequenziale sono nozioni diverse.
equivalenti, visto che $Y$ è uno spazio metrico. Quindi la caratterizzazione con le successioni che dicevi tu
è perfettamente sensata.
Scusa. Mi ero confuso con le questioni di compattezza debole, dove compattezza e compattezza sequenziale sono nozioni diverse.
Assolutamente... Anzi grazie per l'aiuto costante! 
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