Operatore limitato

[thedarkhero]

Ho un operatore $T:C([0,1])->RR$ (considero $C([0,1])$ munito della norma $||*||_(oo)$) definito da $T(f)=\sum_{n=1}^(oo) (-1)^n/2^n*f(1/n)$.
Si prova semplicemente che $T$ è lineare.
Ora voglio provare che $T$ è limitato.
So che un operatore lineare è limitato se e solo se è continuo se e solo se è continuo in $0$: a questo punto però non so se sia più semplice mostrarne la limitatezza o la continuità...mi date qualche dritta?

[gugo82]

Dato che \(f\in C([0,1])\), essa è limitata, perciò puoi maggiorare facilmente il numero \(|Tf|\).

[thedarkhero]

Avrei che $|Tf|=|\sum_{n=1}^(oo) (-1)^n/2^n*f(1/n)|<=$
$<=\sum_{n=1}^(oo) |(-1)^n/2^n*f(1/n)|=\sum_{n=1}^(oo) |1/2^n*f(1/n)|<=$
$<=\sum_{n=1}^(oo) 1/2^n*||f||_(oo)=||f||_(oo)*\sum_{n=1}^(oo) 1/2^n=$
$||f||_(oo)*((\sum_{n=0}^(oo) 1/2^n)-1)=||f||_(oo)*(1/(1-1/2)-1)=||f||_(oo) Ora ho maggiorato la norma di $Tf$ con la sup-norma di $f$, questo basta (anche se al variare di $f\inC([0,1])$ varia $||f||_(oo)$) per poter dire che $T$ è limitato?

[gugo82]

Per definizione, un funzionale lineare \(T:X\to \mathbb{R}\) è limitato se vale una disuguaglianza del tipo:
\[
|Tf|\leq C\ \| f\|_X
\]
per ogni \(f\in X\), in cui \(C\geq 0\) è una costante indipendente da \(f\)... E questo mi pare proprio il tuo caso, no?

[thedarkhero]

Io uso la seguente definizione: dato un operatore $T:X->Y$ (con $X$ e $Y$ spazi normati) si definisce la sua norma come $||T||="sup"_(||x||_X<=1)||Tx||_Y$.
Se $||T||
Dunque posso concludere che $||T||="sup"_(||f||_(oo)<=1)|Tf|<="sup"_(||f||_(oo)<=1)||f||_(oo)=1$ giusto? E in questo modo avrei mostrato che $T$ è limitato (anche rispetto alla mia definizione).

Oltre alla stima che abbiamo dato della norma di $T$ per mostrare che è limitato, è possibile calcolarla esattamente?

[gugo82]

La definizione che hai, per i funzionali, è equivalente a quella che ho dato sopra (prova a dimostrarlo!).

Questioni teoriche a parte, veniamo al calcolo della norma.
Hai stabilito che \(T\) è limitato e che \(\| T\| \leq 1\), quindi un candidato naturale per il ruolo \(\| T\|\) ce l'hai: \(1\).
Quel che ti rimane da fare è cercare una funzione \(f\in C([0,1])\) per cui \(|Tf|=1\ \| f\|_\infty\): infatti, se una tale funzione esistesse, avresti certamente \(\| T\| =1\) (perché?).
Riesci a trovare una funzione del genere?

[thedarkhero]

Se scelgo $(\barf)(x)={(0,if 0<=x<=1/2),(2x-1,if 1/2 Infatti da un lato avrei che $||T||<=1$ per quanto dimostrato prima, dall'altro che $||T||>=1$ perchè $|T\barf|=1$...e dunque per forza $||T||=1$.

Grazie mille!!

[gugo82]

Certo.

[thedarkhero]

Aspetta...mi sa che non ho tenuto conto di quel $2^n$ al denominatore...con la funzione che ho proposto io avrei $|T\barf|=1/2$
Sto pensando a come poter deformare un coseno o qualcosa di simile a questo punto...

[thedarkhero]

Ho concretizzato l'idea del coseno ma non va bene...
$f(x)=-cos(pi*log_2(x))$ dovrebbe essere tale che $Tf=1$, $||f||_(oo)=1$ ma $f\notinC([0,1])$
Tu hai qualche idea migliore di queste due che illudono di essere buone candidate ma falliscono sempre in qualche modo?

[gugo82]

Vediamo...

Vogliamo trovare una funzione \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) continua tale che:
\[
\tag{1}
Tf = 1=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\; .
\]
Per com'è definito \(T\), i.e.:
\[
Tf = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{2^n}\ f\left( \frac{1}{n}\right)\; ,
\]
affinché una \(f\) soddisfi la (1), essa dovrebbe essere scelta in modo che:
\[
\tag{2}
\forall n\in \mathbb{N},\quad f\left( \frac{1}{n}\right) = (-1)^n\; ;
\]
ma la (2) è di fatto incompatibile con la richiesta di continuità di in \(0\): infatti, ogni funzione \(f:[0,1]\to \mathbb{R}\) che soddisfi la (2) non ha limite in \(0\), perciò non può essere continua in \(0\).
Tuttavia, l'idea di fare delle oscillazioni tra i valori \(\pm 1\) è troppo buona per essere abbandonata... Quindi, se vogliamo continuare ad usarla, urge trovare un'altra strada.

Ad esempio, proviamo a "rilassare" la richiesta (2), trasformandola come segue:
\[
\tag{3} \forall n\leq N,\quad f\left( \frac{1}{n}\right) = (-1)^n
\]
(in cui \(N\) è un fissato numero naturale) e vediamo cosa succede.
Chiamiamo \(f_N\) una qualsiasi funzione continua che soddisfi la (3), e notiamo che una siffatta funzione esiste, fondamentalmente poiché l'uguaglianza in (3) deve essere soddisfatta solo in un numero finito di punti.
Infatti, si può costruire \(f_N\) ponendola uguale a \((-1)^N\) nell'intervallo \([0,1/N]\) e dicendo che il suo grafico è lineare in ogni intervallino \([1/n , 1/{n-1}]\) (con \(n=2,\ldots ,N\)), agli estremi del quale \(f_N\) assume i valori \((-1)^n\) e \((-1)^{n-1}\).
Ad esempio, il seguente è il grafico di \(f_N\) per \(N=5\):
[asvg]xmin=0; xmax=1;ymin=-1;ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([1,-1],[0.5,1]); line([0.5,1],[0.333,-1]); line([0.333,-1],[0.25,1]); line([0.25,1],[0.2,-1]); line([0.2,-1],[0,-1]);[/asvg]
Calcoliamo \(Tf_N\): per la definizione di \(T\) e per com'è stata costruita \(f_N\) abbiamo:
\[
\tag{4}
Tf_N =\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^n}{2^n}\ (-1)^n + \sum_{n=N+1}^\infty \frac{(-1)^{n+N}}{2^n}\ (-1)^N =\underbrace{\sum_{n=1}^N \frac{1}{2^n}}_{=:s_N} + \underbrace{\sum_{n=N+1}^\infty \frac{(-1)^{n+N}}{2^n}}_{=: \omega_N}\; .
\]
Ora, ricordando le proprietà della serie geometrica convergente \(\sum \frac{1}{2^n}\) abbiamo:
\[
\lim_N s_N = 1\; ,
\]
d'altra parte, la successione \(\omega_N\) è imparentata con la successione dei resti della serie geometrica convergente \(\sum \frac{(-1)^n}{2^n}\): perciò si ha certamente:
\[
\lim_N \omega_N =0\; .
\]
Infine, ripetendo (com'è effettivamente possibile) la costruzione fatta sopra per ogni \(N\), riusciamo a generare una successione di funzioni continue \(f_N\) che soddisfano le uguaglianze:
\[
\begin{split}
Tf_N &= s_N + \omega_N\\
\| f_N\|_\infty &=1\; ;
\end{split}
\]
conseguentemente, per ogni \(N\) abbiamo:
\[
\begin{split}
\| T\| &:= \sup_{\| f\|_\infty \leq 1} |Tf| \\
&\geq |Tf_N|\\
&= |s_N +\omega_N|
\end{split}
\]
e per il teorema della permanenza del segno:
\[
\| T\| \geq \lim_N |s_N +\omega_N| =|1+0|=1\; .
\]
[N.B.: Stiamo passando al limite i valori numerici appartenenti alla successione di numeri reali \(Tf_N\); facendo ciò non dobbiamo assolutamente preoccuparci del fatto che la successione di funzioni \(f_N\) converga o meno in \(C([0,1])\)!]

Dato che, come già sapevamo, abbiamo:
\[
\| T\|\leq 1\; ,
\]
dal confronto delle due ultime relazioni ricaviamo \(\| T\|=1\).

[thedarkhero]

Penso di aver capito quello che mi hai suggerito, ci rifletto su ancora un po ma dovrei essere convinto!

Grazie!