Operatore Hermitiano
Salve a tutti ...
stavo svolgendo un esercizio e desideravo chiedervi una spiegazione. Vi riporto il testo:
"Nello spazio vettoriale metrico delle matrici complesse \(\displaystyle n x n \), \(\displaystyle M(n x n) (n \in \mathbb{N}) \), con prodotto scalare \(\displaystyle (A,B) = \frac{1}{N} Tr(A^\dagger B) \),
\(\displaystyle \forall A,B \in M(n x n)\), data una matrice C si efinisce l'operatore lineare \(\displaystyle \hat C \) in modo tale che, \(\displaystyle \forall A \in M(n x n) \), \(\displaystyle \hat C A = B = [C,A] \in M(n x n)\).
Si dimostri che l'operatore è hermitiano se la matrice C è hermitiana."
Allora lo svolgimento dell'esercizio procede affermando appunto che la matrice C sia hermitiana e quindi eseguo il seguente prodotto scalare:
\(\displaystyle (A,\hat CB)^* = \frac{1}{2} Tr(A^\dagger[C,B])^* = \frac{1}{2} Tr(A^\dagger CB - A^\dagger BC)^* \)
Io a questo punto avrei portato il simbolo di complesso coniugato all'interno della Traccia, mentre il testo fa questo:
\(\displaystyle \frac{1}{2} Tr(A^\dagger CB - A^\dagger BC)^* = \frac{1}{2} Tr((A^\dagger CB)^\dagger - (A^\dagger BC)^\dagger) \)
Sapreste per favore dirmi come mai invece che passare all'interno della Traccia l'operazione di coniugazione complessa si è passata quella dell'aggiunto? Questo tipo di operazione mi convince nel caso di operatori, ma non in quello di matrici, in cui la matrice complessa coniugata e quella aggiunta sono diverse per una trasposizione....
Grazie davvero.
Saluti
Enrico Catanzani
stavo svolgendo un esercizio e desideravo chiedervi una spiegazione. Vi riporto il testo:
"Nello spazio vettoriale metrico delle matrici complesse \(\displaystyle n x n \), \(\displaystyle M(n x n) (n \in \mathbb{N}) \), con prodotto scalare \(\displaystyle (A,B) = \frac{1}{N} Tr(A^\dagger B) \),
\(\displaystyle \forall A,B \in M(n x n)\), data una matrice C si efinisce l'operatore lineare \(\displaystyle \hat C \) in modo tale che, \(\displaystyle \forall A \in M(n x n) \), \(\displaystyle \hat C A = B = [C,A] \in M(n x n)\).
Si dimostri che l'operatore è hermitiano se la matrice C è hermitiana."
Allora lo svolgimento dell'esercizio procede affermando appunto che la matrice C sia hermitiana e quindi eseguo il seguente prodotto scalare:
\(\displaystyle (A,\hat CB)^* = \frac{1}{2} Tr(A^\dagger[C,B])^* = \frac{1}{2} Tr(A^\dagger CB - A^\dagger BC)^* \)
Io a questo punto avrei portato il simbolo di complesso coniugato all'interno della Traccia, mentre il testo fa questo:
\(\displaystyle \frac{1}{2} Tr(A^\dagger CB - A^\dagger BC)^* = \frac{1}{2} Tr((A^\dagger CB)^\dagger - (A^\dagger BC)^\dagger) \)
Sapreste per favore dirmi come mai invece che passare all'interno della Traccia l'operazione di coniugazione complessa si è passata quella dell'aggiunto? Questo tipo di operazione mi convince nel caso di operatori, ma non in quello di matrici, in cui la matrice complessa coniugata e quella aggiunta sono diverse per una trasposizione....
Grazie davvero.
Saluti
Enrico Catanzani
Risposte
Potresti spiegare cosa intendi per \(\displaystyle A^{\dagger}\) ed \(\displaystyle A^{*}\)...
Secondo me è solo un problema di notazioni. Credo che sia il dagger sia la stellina indichino trasposizione e coniugazione.
"j18eos":
Potresti spiegare cosa intendi per \(\displaystyle A^{\dagger}\) ed \(\displaystyle A^{*}\)...
Per \(\displaystyle A^\dagger \) intendo l'operazione di aggiunto, mentre con * intendo l'operazione di coniugazione complessa.
Saluti
"dissonance":
Secondo me è solo un problema di notazioni. Credo che sia il dagger sia la stellina indichino trasposizione e coniugazione.
Ma sono operazioni differenti, come mai si dovrebbero scambiare come simboli?? A questo punto perché non mettere l'aggiunto fin dall'inizio invece che il simbolo di coniugazione complessa?
Scusa se chiedo ma non riesco proprio a capire questo simbolismo....
Saluti a tutti
Sono notazioni usate dai fisici, in meccanica quantistica. E' tutto perfettamente regolare: alle matrici si applica il dagger, agli scalari la stellina. Tanto la trasposizione non cambia la traccia.
Si infatti a Meccanica Quantistica usiamo quetso tipo di operazioni con gli operatori. Perfetto allora. Grazie. Salutia a tutti e Buon Anno.
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