Operatore gradiente in coordinate curvilinee

[Cannone Speciale]

Ciao a tutti, al corso di elettromagnetismo ci avevano mostrato l'operatore gradiente, divergenza e rotore in coordinate curvilinee utilizzando metodi discutibili per me cioè utilizzando i differenziali. Io ho trovato qualche giorno fa il modo per dimostrare in modo più standard il gradiente in coordinate sferiche senza usare i differenziali e quindi secondo me nel modo corretto. Ho provato a farlo poi per coordinate curvilinee ma mi sono inceppato quasi alla fine. Mostro come ho fatto in coordinate sferiche e poi i miei calcoli per le coordinate curvilinee, sperando che qualcuno possa darmi delucidazioni su dove sbaglio o su come posso continuare.

Il gradiente è dato da:
$ \nabla f = ( e_x del/{delx} + e_y del/{dely} + e_z del/{delz} )f = (ae_r del/{delr} + be_theta del/{deltheta} + ce_phi del/{delphi})f$
dove $ a, b, c $ sono i coefficienti da calcolare

basta quindi scrivere i vettori $ e_x, e_y, e_z $ nella base in coordinate sferiche $ e_r, e_\theta, e_\phi $ e sostituire le derivate parziali rispetto a x,y,z con le derivate rispetto a $ r, theta, phi $ tramite la regola di derivazione della funzione composta. Si ricava quindi

$ e_r =sinthetacosphie_x+sinthetasinphie_y+costhetae_z $
$ e_theta=costhetacosphie_x+costhetasinphie_y-sinthetae_z $
$ e_phi=-sinphie_x+cosphie_y $

$ del/{delx}={delr}/{delx}del/{delr}+{deltheta}/{delx}del/{deltheta}+{delphi}/{delx}del/{delphi} $

e così via per le altre derivate. Svolgendo i conti si trova proprio
$a=1,$ $b=1/r,$ $c=1/rsintheta $

Applico la stessa procedura in coordinate curvilinee.
Chiamiamo $ { ( u_1=u_1(x,y,z)),( u_2=u_2(x,y,z) ),( u_3=u_3(x,y,z) ):} $ le nuove variabili in funzione delle vecchie, allora le linee coordinate sono date dalle curve su cui varia solo una delle tre nuove variabili, ovvero $ vec(r)=vec(r)(u_1,u_2,u_3) $ dove solo una tra $u_1,u_2,u_3$ varia.

I versori della nuova base sono dati dai vettori tangenti alle linee coordinate, quindi:

$ e_1 = frac{{delvec(r)(u_1,u_2,u_3)}/{delu1}}{|{delvec(r)(u_1,u_2,u_3)}/{delu1}|}=1/h_1{delvec(r)(u_1,u_2,u_3)}/{delu1} $

dove quindi $ h_1 $ è il modulo del vettore tangente alla curva e dipende dal punto.
Questa formula posso riscriverla così:

$ e_1=1/h_1{delvec(r)(u_1,u_2,u_3)}/{delu1}=1/h_1({delx}/{delu_1}e_x+{dely}/{delu_1}e_y+{delz}/{delu_1}e_z) $

quindi in forma matriciale si ha:

$ ( (e_1), (e_2), (e_3) ) = ( ( 1/h_1{delx}/{delu_1} , 1/h_1{dely}/{delu_1} , 1/h_1{delz}/{delu_1} ),( 1/h_2{delx}/{delu_2}, 1/h_2{dely}/{delu_2} , 1/h_2{delz}/{delu_2} ),( 1/h_3{delx}/{delu_3} , 1/h_3{dely}/{delu_3} , 1/h_3{delz}/{delu_3} ) ) ( (e_x), (e_y), (e_z) ) $

A questo punto ho invertito la matrice, che denoto con la lettera $ A ,$ trovando che il determinante è:

$ det(A) = frac{epsilon_{ijk}{delx_i}/{delu_1}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3}}{h_1h_2h_3 } $

e la matrice dei cofattori:

$ cof(A) = ( ( 1/{h_2h_3}epsilon_{1jk}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3} , -1/{h_2h_3}epsilon_{2jk}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3} , 1/{h_2h_3}epsilon_{3jk}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3} ),( -1/{h_1h_3}epsilon_{1jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_3} , 1/{h_1h_3}epsilon_{2jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_3} , -1/{h_1h_3}epsilon_{3jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_3} ),( 1/{h_1h_2}epsilon_{1jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_2} , -1/{h_1h_2}epsilon_{2jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_2} , 1/{h_1h_2}epsilon_{3jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_2} ) ) $

in entrambi i casi ho sottointeso la somma sugli indici ripetuti per non appesantire ulteriormente la notazione.

$ ( (e_x), (e_y), (e_z) ) = A^-1( (e_1), (e_2), (e_3) ) = 1/{epsilon_{ijk}{delx_i}/{delu_1}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3}}( ( h_1epsilon_{1jk}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3} , -h_2epsilon_{1jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_3} , h_3epsilon_{1jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_2} ),( -h_1epsilon_{2jk}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3} , h_2epsilon_{2jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_3} , -h_3epsilon_{2jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_2} ),( h_1epsilon_{3jk}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3} , -h_2epsilon_{3jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_3} , h_3epsilon_{3jk}{delx_j}/{delu_1}{delx_k}/{delu_2} ) ) ( (e_1), (e_2), (e_3) ) $

Per trovare i coefficienti $a,b,c$ quindi calcolo:

$ e_x del/{delx} + e_y del/{dely} + e_z del/{delz} =e_x{delu_i}/{delx}del/{delu_i}+e_y{delu_i}/{dely}del/{delu_i}+e_z{delu_i}/{delz}del/{delu_i} $

sostituendo $e_x, e_y, e_z$ in funzione di $e_1, e_2, e_3$

Il coefficiente che sta davanti a $e_1$ dovrebbe essere dato da:

$ 1/{epsilon_{ijk}{delx_i}/{delu_1}{delx_j}/{delu_2}{delx_k}/{delu_3}}(h_1epsilon_{1lm}{delx_l}/{delu_2}{delx_m}/{delu_3}{delu_n}/{delx}del/{delu_n}-h_1epsilon_{2lm}{delx_l}/{delu_2}{delx_m}/{delu_3}{delu_n}/{dely}del/{delu_n}+$

$+h_1epsilon_{3lm}{delx_l}/{delu_2}{delx_m}/{delu_3}{delu_n}/{delz}del/{delu_n} )$

Ora, se non sbaglio i coefficienti dovrebbero valere:

$ a = 1/h_1, $ $b=1/h_2, $ $c=1/h_3 $

ma io non riesco a semplificare la formula precedente, qualcuno con più dimestichezza di me con il tensore di Levi-Civita magari riesce a far venire il risultato o a trovarmi un errore.
Ho scritto molto, ma d'altronde la questione richiedeva molti calcoli.

[dissonance]

Hai fatto bene a scrivere questi conti così li impari bene. Ma qual è esattamente la tua domanda? Tutta quella roba lì alla fine si dovrebbe semplificare, è questa la domanda?

[Cannone Speciale]

Si però non so come, un mio amico mi ha suggerito di imporre che la matrice A sia ortogonale, però non ho avuto ancora il tempo per farlo, forse con questa condizione in più viene.