Operatore ellittico

[ayeyye]

che cos'è come si definisce?

[gugo82]

Per quel che ne so, un operatore differenziale lineare del second'ordine $L:=\sum_(i,j=1)^n a_(i,j)(x) (\partial^2 u)/(\partial x_i\partial x_j)(x)$ è detto ellittico nel suo insieme di definizione $Omega$ se gli autovalori $\lambda_1(x),\ldots ,\lambda_n(x)$ della matrice simmetrica $A(x):=(a_(i,j)(x))$ associata ad $L$ sono o tutti positivi o tutti negativi per ogni $x \in Omega$ (il che equivale a dire che la matrice $A(x)$ è o positivamente definita o negativamente definita in $Omega$).
Ad esempio, l'operatore di Laplace $Deltau:=\sum_(i,j=1)^n \delta_i^j (\partial^2 u)/(\partial x_i\partial x_j)(x) =\sum_(i=1)^n (\partial^2 u)/(\partial x_i^2)(x)$ è ellittico in $Omega=RR^n$.
Invece l'operatore $L:=(\partial^2 u)/(\partial x_i^2)(x)-(\partial^2 u)/(\partial x_2^2)(x)$ non è ellittico in $RR^2$ (infatti la matrice associata ad $L$ è $A(x):=((1,0),(0,-1))$ ed essa non è definita né positiva né negativa in $RR^2$).