Operatore di Laplace

[Principe2]

Sia $\Delta$ l'operatore di Laplace dallo spazio $C^2(\Omega)$ a $C^0(\Omega)$,
essendo $\Omega\subsetRR^N$. è continuo?

[Fioravante Patrone1]

presumo che $\Omega$ sia un aperto

la domanda è: "esiste una topologia su $C^2(\Omega)$ ed una su $C^0(\Omega)$ per cui il laplaciano è continuo?"
se così fosse, allora la risposta è talmente banale che non la scrivo neanche

se, come immagino, così non è, mi sembrerebbe carino se tu dicessi rispetto a queli topologie

[Luca.Lussardi]

... anche perchè il fatto che $\Omega$ sia aperto non ti permette di mettere la norma del sup.

[Principe2]

facciamo $\Omega$ compatto con le norme classiche.. norma $C^2$ da una parte
e norma $C^0$ dall'altra

[Fioravante Patrone1]

compatto?

spero (?) con interno non vuoto

e come definisci le derivate seconde nei punti di frontiera?

[Principe2]

per continuità
facciamo che $\Omega$ è un aperto limitato non vuoto e che $\Delta$ sia definito
da $C^2(\bar{\Omega})$ a $C^0(\bar{\Omega})$.

Mi pare che così togliamo tutti i problemi di definizioni ben poste...

[Principe2]

Serve la limitatezza delle derivate, per fare l'estensione per continuità alla chiusura.
Ma se supponiamo la limitatezza allora possiamo mettere la norma del sup senza
passare per la chiusura.

Se no facciamo come i fisici... mettiamoci nelle ipotesi in cui tutto quello che ho scritto
ha senso. Allora l'operatore di Laplace è continuo?