Operatore di inclusione

[dustofstar]

.. ciao a tutti..
qualcuno sa spiegarmi cos'e' l'operatore d'inclusione?
Negli spazi $l^p$ devo studiare la continuita' dell'operatore di inclusione $l^p -> l^q$ se $p<=q Ma.. non so cos'è l'operatore d'inclusione, il prof non l'ha spiegato.. >_< dicendo che avrebbe messo gli appunti su internet.. ma non ha fatto.. e non riesco a trovarlo sul libro..

[gugo82]

L'operatore d'inclusione è semplicemente l'applicazione [tex]$i:\ell^p \ni x\mapsto x\in \ell^q$[/tex] che bisogna introdurre poiché, formalmente, non è corretto dire che [tex]$\ell^p \subseteq \ell^q$[/tex] (in quanto i simboli [tex]$\ell^p ,\ \ell^q$[/tex] denotano degli spazi normati con norme differenti, e non degli insiemi).

Visto che l'inclusione è, in ogni caso, lineare, studiare la continuità di $i$ equivale studiarne la limitatezza, ossia a stabilire per quali coppie d'esponenti $p,q$ sussiste una disuguaglianza del tipo:

[tex]$\forall x\in \ell^p,\ ||x||_q=||i(x)||_q\leq C\cdot ||x||_p$[/tex]

con [tex]$C\geq 0$[/tex].

[dustofstar]

ok.. capito.. ^_^
e.. determinare la norma dell'operatore??

[gugo82]

Pensa a cosa succede se prendi una successione [tex]$x\in c_{00}$[/tex] (ossia definitivamente nulla), ad esempio la successione [tex]$x=(1,0,0,\ldots ,0,\ldots )$[/tex]...

[dustofstar]

.. uhm.. scusami.. ho qualche problema sullo studiare la continuità..
allora...
l'operatore d'inclusione è lineare se $\forall x \in \l^p ||x||_q<=C||x||_p$ con $C>0$ che è dire poichè siamo in $\l^p$ che $sum_{n}|x_n|^q<=Csum_{n}|x_n|^p$
Se $p>q$ come posso trovare questa costante $C$ in modo che sia sempre vera la condizione per ogni successione $x_n$ ?

[dustofstar]

.. uhm... sono arrivata a questo... puoi darmi una tua opinione??
allora.. se $x={x_n}$ e se indico con $x_0 = max {x_n}$ allora $||x||_q^q =sum_{n}|x_n|^q<=n|x_0|^q=n||x||_oo^q$
e quindi $n^(1/q)||x||_q ma $||x||_oo<= ||x||_p$ qualunque sia p.. giusto?
quindi $||x||_q

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[gugo82]

Non ci sei... Infatti se maggiori le somme parziali con qualcosa che contiene un [tex]$n$[/tex], quando poi passi al limite non sai dove vai a finire.
In altri termini, da [tex]$\sum_{k=1}^n |x_k|^q\leq n||x||_\infty^q$[/tex] puoi ricavare solo [tex]$||x||_q^q=\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=1}^n |x_k|^q \leq \lim_{n\to +\infty} n||x||_\infty^q = +\infty$[/tex], che non ti serve a nulla.

Per vedere un po' come stanno le cose, io comincerei a stabilire cosa succede tra [tex]$\ell^p$[/tex] ed [tex]$\ell^\infty$[/tex].

Prendiamo prima [tex]$p=1$[/tex]. Se [tex]$x\in \ell^1$[/tex] allora [tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k| <+\infty$[/tex], quindi per la condizione necessaria alla convergenza di una serie trovi [tex]$|x_k|\to 0$[/tex]; per un noto fatto, la [tex]$x$[/tex] è limitata (poiché infinitesima), sicché [tex]$x\in \ell^\infty$[/tex] ed in virtù dell'arbitrarietà nella scelta di [tex]$x$[/tex] ciò importa [tex]$\ell^1\subseteq \ell^\infty$[/tex].
Analogamente si procede per [tex]$p>1$[/tex]: se [tex]$x\in \ell^p$[/tex] allora [tex]$|x_k|^p\to 0$[/tex], quindi [tex]$x$[/tex] è limitata e [tex]$x\in \ell^\infty$[/tex]; come sopra, da ciò segue [tex]$\ell^p \subseteq \ell^\infty$[/tex].
Ciò ti fa capire che la situazione per gli [tex]$\ell^p$[/tex] è ben diversa da quella degli spazi [tex]$L^p([0,1])$[/tex] (ad esempio): infatti per gli [tex]$L^p$[/tex] l'inclusione è invertita, ossia si ha [tex]$L^\infty([0,1]) \subseteq L^p([0,1])$[/tex].

Quanto appena detto ci consente di affermare che l'operatore d'inclusione [tex]$i:\ell^p \ni x \mapsto x\in \ell^\infty$[/tex] è un operatore lineare tra [tex]$\ell^p$[/tex] ed [tex]$\ell^\infty$[/tex].
Se ora prendo [tex]$x\in c_{00}$[/tex] ovviamente trovo:

[tex]$||x||_\infty^p =\max_k |x_k|^p \leq \sum_{k=1}^{+\infty}|x_k|^p =||x||_p^p$[/tex],

cosicché:

[tex]$\forall x\in c_{00},\ ||x||_\infty \leq ||x||_p$[/tex].

Visto che [tex]$c_{00}$[/tex] è denso in [tex]$\ell^p$[/tex] (questo si prova abbastanza facilmente), che la [tex]$p$[/tex]-norma è continua e che [tex]$x\in \ell^p \Rightarrow x\to 0$[/tex] (quindi [tex]$||x||_\infty =\max_n |x_n|$[/tex] per [tex]$x\in \ell^p$[/tex]), posso dire che la precedente disuguaglianza vale per ogni [tex]$x\in \ell^p$[/tex].
Quindi l'inclusione [tex]$i:\ell^p \to \ell^\infty$[/tex] è un operatore lineare limitato (e dunque continuo) che ha norma operatoriale:

[tex]$||i||_{p,\infty} := \sup_{x\in \ell^p\setminus \{ o\}} \frac{||i(x)||_\infty}{||x||_p} = \sup_{x\in \ell^p\setminus \{ o\}} \frac{||x||_\infty}{||x||_p} \leq 1$[/tex];

d'altra parte, presa [tex]$x=(1,0,\ldots ,0,\ldots)$[/tex] si ha [tex]$||x||_\infty=1=||x||_p$[/tex] cosicché il precedente estremo superiore è un massimo e si ha:

[tex]$||i||_{p,\infty}=1$[/tex].

Ovviamente, l'operatore [tex]$i:\ell^p \to \ell^\infty$[/tex] non è suriettivo (perchè?) e manda [tex]$\ell^p$[/tex] in un sottospazio proprio di [tex]$\ell^\infty$[/tex] chiuso rispetto a [tex]$||\cdot ||_\infty$[/tex] (quale?).

Quindi cosa aspettarsi nel caso di esponenti [tex]$q>p\geq 1$[/tex] generici?
Beh, visto che per [tex]$q=\infty$[/tex] c'è l'inclusione [tex]$\ell^p \subseteq \ell^\infty$[/tex], è ovvio aspettarsi che [tex]$\ell^p\subseteq \ell^q$[/tex]... Ciò si prova applicando astutamente la disuguaglianza di Holder e qualche altro trucchetto del genere.

Se vuoi ne parliamo. Fammi sapere.

[dustofstar]

si.. parliamone.. ti prego.. mi sto sentendo un' emerita ignorante che non riesce a provarlo..

[gugo82]

Prendiamo [tex]$x\in \ell^p$[/tex], sicché [tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^p <+\infty$[/tex]. Per [tex]$p
[tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^q =\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^p |x_k|^{q-p}$[/tex];

ora, visto che [tex]$x\in \ell^p$[/tex] e che [tex]$|x_k|^p\to 0$[/tex], si ha [tex]$|x|^{q-p}:=(|x_k|^{q-p}) \in \ell^\infty$[/tex], dalla precedente segue:

[tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} |x_k|^q \leq |||x|^{q-p}||_\infty ||x||_p^p=||x||_\infty^{q-p}||x||_p^p$[/tex]

cosicché:

[tex]$||x||_q\leq ||x||_\infty^{\frac{q-p}{q}} ||x||_p^{\frac{p}{q}}$[/tex].

L'ultima disuguaglianza conferma l'intuizione dell'ultimo post: infatti, visto che [tex]$x\in \ell^p \subseteq \ell^\infty$[/tex], il secondo membro della precedente è finito; quindi l'inclusione [tex]$i:\ell^p \ni x\mapsto x\in \ell^q$[/tex] è un operatore lineare di [tex]$\ell^p$[/tex] in [tex]$\ell^q$[/tex] per [tex]$q>p$[/tex].

Per quanto riguarda la limitatezza dalla precedente non si può desumere nulla, a occhio e croce... Però prova, mai dire mai.


P.S.: Ancora non hai risposto su una cosa: qual è l'immagine di [tex]$i:\ell^p \to \ell^\infty$[/tex]? Come si desume che essa è un sottospazio proprio di [tex]$\ell^\infty$[/tex] chiuso rispetto a [tex]$||\cdot ||_\infty$[/tex]?

P.P.S.: Non buttarti giù. È del tutto normale avere delle difficoltà all'inizio dello studio di una teoria... Però con l'impegno a migliorarsi si supera tutto!

[dustofstar]

Ciao.. innanzitutto grazie.. mi stai facendo capire molte cose..
Uhm.. per vedere la limitatezza, il che ci serve per controllare la continuità dell'operatore.. è giusto questo ragionamento??
Dall'ultimo risultato possiamo ottenere che

$||x||_q<=||x||_p^(p/q)||x||_oo^((q-p)/q)<=||x||_p||x||_p^((q-p)/q)$ in quanto abbiamo visto che $||x||_oo<=||x||_p \forallp$ e in quanto $||x||_p^(p/q)<=||x||_p$
quindi considerando $||x||_p^((q-p)/q)$ la nostra $C$ abbiamo appunto ottenuto che
$||x||_q<=C||x||_p$ e quindi l'operatore inclusione è continuo.

E' giusto o sono di nuovo fuori strada??
E.. poi.. per trovare la norma dell'operatore? non ho capito come si fa..

[gugo82]

Ci sei quasi... Però dobbiamo cambiare un po' le maggiorazioni, perchè a noi serve una disuguaglianza del tipo [tex]$||x||_q\leq C\cdot ||x||_p$[/tex] con [tex]$C$[/tex] indipendente da [tex]$x$[/tex] e la posizione [tex]$C:=||x||_p^\frac{q-p}{q}$[/tex] non va bene*.

Abbiamo [tex]$||x||_\infty \leq ||x||_p$[/tex] e, per la monotonia della potenza (ricorda che [tex]$\frac{q-p}{q}>0$[/tex]), si ha $[tex]||x||_\infty^\frac{q-p}{q} \leq ||x||_p^\frac{q-p}{q}$[/tex] quindi:

[tex]$||x||_q\leq ||x||_p^\frac{p}{q} ||x||_\infty^\frac{q-p}{q} \leq ||x||_p^\frac{p}{q} ||x||_p^\frac{q-p}{q} = ||x||_p$[/tex].

Ne consegue che l'inclusione ha norma opratoriale $[tex]||i||_{p,q} \leq 1$[/tex]; che poi in realtà si abbia [tex]$||i||_{p,q}=1$[/tex] si dimostra come prima, scegliendo una particolare successione (ad esempio [tex]$x=(1,0,\ldots ,0,\ldots )$[/tex]).

__________
* Qui dobbiamo aprire una bella parentesi.
Quando cerchi di dimostrare la limitatezza di un operatore [tex]$T:\ell^p \to \ell^q$[/tex] devi cercare di stabilire una maggiorazione del tipo [tex]$||Tx||_q\leq C(x)\cdot ||x||_p$[/tex] in cui $[tex]C(x)\geq 0$[/tex] è una funzione limitata superiormente. Questo fatto, se vuoi, discende dalla definizione di operatore limitato: infatti se [tex]$C=\sup_{x\in \ell^p} C(x) <+\infty$[/tex] allora si ha $[tex]||Tx||_q\leq C(x)\cdot ||x||_p\leq C\cdot ||x||_p$[/tex]; viceversa se [tex]$T$[/tex] è limitato e [tex]$C$[/tex] è una costante che consente di scrivere [tex]$||Tx||_q\leq C\cdot ||x||_p$[/tex], allora si ha [tex]$C(x):=\frac{||Tx||_q}{||x||_p}\leq C$[/tex] e la [tex]$C(x)$[/tex] è una funzione limitata superiormente.
Nel caso presente volevi porre [tex]$C(x):=||x||_p^\frac{q-p}{q}$[/tex], ma ciò non sarebbe servito allo scopo, in quanto la funzione [tex]$C(x)$[/tex] non è limitata superiormente (infatti si ha [tex]$\lim_{||x||_p\to +\infty} C(x)=+\infty$[/tex]).

[dustofstar]

Come posso ringraziarti??
Queste vacanze di Natale saranno dedicate agli spazi $L^p$ promesso!!
Posso chiederti un'ultima cosa?
Perchè "visto che [tex]$x\in \ell^p$[/tex] e che [tex]$|x_k|^p\to 0$[/tex], si ha [tex]$|x|^{q-p}:=(|x_k|^{q-p}) \in \ell^\infty$[/tex]"?

[gugo82]

"dustofstar":Posso chiederti un'ultima cosa?
Perchè "visto che [tex]$x\in \ell^p$[/tex] e che [tex]$|x_k|^p\to 0$[/tex], si ha [tex]$|x|^{q-p}:=(|x_k|^{q-p}) \in \ell^\infty$[/tex]"?

Se [tex]$|x_k|^p\to 0$[/tex] allora [tex]$|x_k|\to 0$[/tex] (perchè?), quindi... Finisci tu.
Dopotutto questo è un "trucco" che ho già usato più sopra: se hai davvero capito i passaggi che ho fatto in precedenza, dovresti aver capito anche come ricavare queste cosette banali.

"dustofstar":Come posso ringraziarti??
Queste vacanze di Natale saranno dedicate agli spazi $L^p$ promesso!!

Potresti ringraziarmi, ad esempio, rispondendo alle questioni che sono rimaste in sospeso... In questo modo mostreresti di aver capito come usare qualcuno degli strumenti che ho usato anch'io e mi faresti contento.

Buono studio (anche se tradizionalmente durante le feste si combina poco e niente ).