Omotopia di classe $C^2$

[void1]

Buon giorno, riporto quanto trovo sul De Marco, Analisi Due, pag 477:

Teorema Sia $f : D \to \mathbb C$ olomorfa in $D$; siano $\alpha,\beta$ circuiti di $D$ omotopi in $D$. Si ha $\int_\alpha f(z) dz = \int_\beta f(z) dz$

Dimostrazione. Si può supporre che ci sia un'omotopia di circuiti $h : [a,b] \times [0,1] \to D$ che oltre che continua sul rettangolo è di classe $C^2$ per $0 < \lambda < 1$ (se ne esiste una ne esiste anche una fatta in questo modo, accettarlo). [Prosegue]

Accettarlo? Giammai!
Come è possibile dimostrare che esiste una siffatta omotopia di classe $C^2$?

Grazie!

[dissonance]

Vediamo se ho capito bene: tu vuoi dimostrare che se due circuiti sono omotopi in $D$ allora esiste tra i due una omotopia di classe $C^2$. E questo ti serve per dimostrare il teorema di Cauchy sugli integrali di funzioni olomorfe.

A naso non mi sembra una cosa molto semplice da dimostrare, però. Un ingrediente della dimostrazione potrebbe essere l'equivalenza, negli aperti di $CC$, tra connessione per archi e connessione per poligonali (se possiamo connettere due punti con una curva continua possiamo farlo anche con una poligonale che è un affare regolare a tratti).