$\Omega=(0,1)\times(0,1)$ è di classe $C^2$ ?
Salve ragazzi/e
Sto cercando di capire se il quadrato $\Omega=(0,1)\times(0,1)$ è di classe $C^2$. Mi è importante saperlo perché se lo è allora la soluzione del problema definito su $\Omega$
$-\nabla^2 u+u=f$ con $f\in L^2(\Omega)$
e condizioni al bordo di Neumann, è di classe $C^2(\bar\Omega)$. La definizione di Aperto di classe $C^m$ presa dal H. Brezis è la seguente:
Si dice che un aperto $\Omega$ è di classe $C^m$, $m$ intero $\geq 1$ se per ogni $x\in \Gamma$ ($\Gamma$ bordo di $\Omega$) esiste un intorno $U$ di $x$ in $\mathbb R^N$ ed un' applicazione $H:Q\rightarrow U$ bigettiva tale che
$H\in C^m(\bar Q)$, $H^{-1}\in C^m(\bar U)$, $H(Q_{+})=U\cap\Omega$, $H(Q_0)=U\cap \Gamma$
dove $Q_+=Q\cap\mathbb R_+^N$ e $Q_0=\{x\in Q:x_N=0\}$
Non so voi ma questa definizione mi sembra piuttosto oscura o comunque difficilmente applicabile. Penso comunque che il problema sia ai vertici del quadrato ma forse si può generalizzare la definizione q.o. alla fine sono solo 4 punti dove ci sono problemi...
Se magari conoscete una definizione più pratica e meno teorica o se, ancora meglio, avete visto in qualche testo che quadrati o rettangoli sono di classe $C^2$ vi sarei grato!!!
Grazie
Simone
Sto cercando di capire se il quadrato $\Omega=(0,1)\times(0,1)$ è di classe $C^2$. Mi è importante saperlo perché se lo è allora la soluzione del problema definito su $\Omega$
$-\nabla^2 u+u=f$ con $f\in L^2(\Omega)$
e condizioni al bordo di Neumann, è di classe $C^2(\bar\Omega)$. La definizione di Aperto di classe $C^m$ presa dal H. Brezis è la seguente:
Si dice che un aperto $\Omega$ è di classe $C^m$, $m$ intero $\geq 1$ se per ogni $x\in \Gamma$ ($\Gamma$ bordo di $\Omega$) esiste un intorno $U$ di $x$ in $\mathbb R^N$ ed un' applicazione $H:Q\rightarrow U$ bigettiva tale che
$H\in C^m(\bar Q)$, $H^{-1}\in C^m(\bar U)$, $H(Q_{+})=U\cap\Omega$, $H(Q_0)=U\cap \Gamma$
dove $Q_+=Q\cap\mathbb R_+^N$ e $Q_0=\{x\in Q:x_N=0\}$
Non so voi ma questa definizione mi sembra piuttosto oscura o comunque difficilmente applicabile. Penso comunque che il problema sia ai vertici del quadrato ma forse si può generalizzare la definizione q.o. alla fine sono solo 4 punti dove ci sono problemi...
Se magari conoscete una definizione più pratica e meno teorica o se, ancora meglio, avete visto in qualche testo che quadrati o rettangoli sono di classe $C^2$ vi sarei grato!!!
Grazie
Simone
Risposte
Direi proprio di no.... come la mettiamo con i vertici?
Si i vertici sono il problema però mi sembra strano. Il mio problema sta tutto nel capire se
$-\nabla^2 u+u=f$ su $\Omega=[0,1]\times[0,1]$ ed $f\in L^2(\Omega)\qquad\qquad\mbox{(1)}$
$\nabla u\cdot f=0$ su $\partial\Omega\qquad\qquad\mbox{(2)}$
ammette soluzione. So per certo dal Brezis che esiste una soluzione debole del problema, però mi serve classica e mi pare strano che un' equazione abbastanza comune crei dei grossi problemi. Luca senti se trovo una $u$ che mi soddisfa (1) e (2) ed è di classe $C^2$ posso dire che è la soluzione ''classica'' che volevo?
$-\nabla^2 u+u=f$ su $\Omega=[0,1]\times[0,1]$ ed $f\in L^2(\Omega)\qquad\qquad\mbox{(1)}$
$\nabla u\cdot f=0$ su $\partial\Omega\qquad\qquad\mbox{(2)}$
ammette soluzione. So per certo dal Brezis che esiste una soluzione debole del problema, però mi serve classica e mi pare strano che un' equazione abbastanza comune crei dei grossi problemi. Luca senti se trovo una $u$ che mi soddisfa (1) e (2) ed è di classe $C^2$ posso dire che è la soluzione ''classica'' che volevo?
Però è un aperto Lipschitziano il che spesso è sufficiente (ed è un argomento che NON conosco quindi la smetto qui). Comunque per una definizione più geometricamente visualizzabile puoi consultare Gilardi pag. 19 (23 nella numerazione del file).
Grazie! Do subito una letturina
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