Olomorfia per calcolare l'integrale di Cauchy
L'esercizio è molto semplice anche se non l'ho capito 
devo calcolare $\int_gamma |z|cos(z) dz$ con $\gamma=3e^{it}$ per $0<=t<=2pi$
io avevo pensato che, per $z=0$ c'era una singolarità eliminabile e pertanto calcolando l'integrale con i residui mi dava come risultato 0. ma per essere una singolarità implicherebbe che la funzione sia olomorfa nell'insieme di $\gamma$.
Consultando la soluzione mi dice che essa non è olomorfa nell'insieme di cui $\gamma$ è il bordo.
che su $\gamma$ si ha $|z|=3$ e dunque $\int_gamma |z|cos(z) dz = 3\int_gamma cos(z) dz=0$, essendo $cos z$ olomorfa e $\int_gamma |z|cos(z) dz$ una curva chiusa contenuta nell'insieme di olomorfia.
ma perchè?
se $|z|$ è olomorfa in tutto $CC$ e lo è pure $cos z$ perchè la funzione non è olomorfa nell'insieme di $\gamma$?
grazie!
devo calcolare $\int_gamma |z|cos(z) dz$ con $\gamma=3e^{it}$ per $0<=t<=2pi$
io avevo pensato che, per $z=0$ c'era una singolarità eliminabile e pertanto calcolando l'integrale con i residui mi dava come risultato 0. ma per essere una singolarità implicherebbe che la funzione sia olomorfa nell'insieme di $\gamma$.
Consultando la soluzione mi dice che essa non è olomorfa nell'insieme di cui $\gamma$ è il bordo.
che su $\gamma$ si ha $|z|=3$ e dunque $\int_gamma |z|cos(z) dz = 3\int_gamma cos(z) dz=0$, essendo $cos z$ olomorfa e $\int_gamma |z|cos(z) dz$ una curva chiusa contenuta nell'insieme di olomorfia.
ma perchè?
se $|z|$ è olomorfa in tutto $CC$ e lo è pure $cos z$ perchè la funzione non è olomorfa nell'insieme di $\gamma$?
grazie!
Risposte
E da quando \(\lvert z \rvert\) è olomorfa?
come faccio a studiare l'olomorfia dei $|z|$?
cioè, se io studio l'olomorfia di $\sqrt(x^2 + y^2)$ manco di parte immaginaria, perciò ho pensato a tutto $CC$.
a questo punto vi chiedo, dove è olomorfa $|z|$?
cioè, se io studio l'olomorfia di $\sqrt(x^2 + y^2)$ manco di parte immaginaria, perciò ho pensato a tutto $CC$.
a questo punto vi chiedo, dove è olomorfa $|z|$?
Da nessuna parte.
Si può vedere in diversi modi. Per esempio se $\partial_{\bar z} f \ne 0$ (cioè se non sono soddisfatte le equazioni di Cauchy Riemann in nessun aperto del piano complesso) allora $f$ non è olomorfa.
Nel tuo caso $| z | = z \bar{z}$ e quindi $partial_{\bar z} z \bar{z} = z \ne 0$ se $z \ne 0$.
Si può vedere in diversi modi. Per esempio se $\partial_{\bar z} f \ne 0$ (cioè se non sono soddisfatte le equazioni di Cauchy Riemann in nessun aperto del piano complesso) allora $f$ non è olomorfa.
Nel tuo caso $| z | = z \bar{z}$ e quindi $partial_{\bar z} z \bar{z} = z \ne 0$ se $z \ne 0$.
capito Grazie!
Grazie!
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