Olomorfia di una funzione
Salve ragazzi,
io so che una funzione è olomorfa se è differenziabile o se è analitica.
ok questo da un punto di vista teorico.
Però come si fa a riconoscere le funzioni olomorfe "ad occhio"?
Se una funzione ha punti singolari periodici posso affermare che qualsiasi funzione nel campo complesso con punti singolari periodici non è olomorfa, o sto dicendo una fesseria??
Per esempio $ 1/(sin(z-2)) $ come faccio a vedere ad occhio che non è olomorfa?
io so che una funzione è olomorfa se è differenziabile o se è analitica.
ok questo da un punto di vista teorico.
Però come si fa a riconoscere le funzioni olomorfe "ad occhio"?
Se una funzione ha punti singolari periodici posso affermare che qualsiasi funzione nel campo complesso con punti singolari periodici non è olomorfa, o sto dicendo una fesseria??
Per esempio $ 1/(sin(z-2)) $ come faccio a vedere ad occhio che non è olomorfa?
Risposte
Non vorrei dire una fesseria, ma a me sembra che la tua funzione sia olomorfa ovunque tranne dove si annulla il denominatore.
"maxsiviero":
Non vorrei dire una fesseria, ma a me sembra che la tua funzione sia olomorfa ovunque tranne dove si annulla il denominatore.
no dici bene ho sbagliato io ad esprimermi
come hai fatto a capire che non è olomorfa nei punti in cui il denominatore si annulla?
perchè lì non esiste. olomorfia significa esistenza e derivabilità in senso complesso.
Scusa, winged_warrior, pensa ad Analisi I.
Ad esempio, alla funzione [tex]\frac{1}{x^2-1}[/tex]... Puoi dire "a occhio" che essa non è derivabile in [tex]$\pm 1$[/tex] (punti in cui si annulla il denominatore) perchè la funzione non è continua in tali punti (e tu sai che la derivabilità implica la continuità, quindi se manca quest'ultima...).
Lo stesso vale per le funzioni olomorfe, ossia derivabili in senso complesso: se una funzione è derivabile in un punto allora è continua in quel punto.
La tua funzione [tex]\frac{1}{\sin (z-2)}[/tex] non è continua in quei punti in cui si annulla il denominatore (che sono del tipo [tex]$z=2+k\pi$[/tex], con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]), quindi come fa ad essere derivabile in tali punti?
Per il resto, è sempre un fatto noto da Analisi I che la funzione [tex]\frac{1}{f(x)}[/tex] è derivabile in tutti i punti in cui è derivabile e non nulla [tex]$f(x)$[/tex]: così la funzione [tex]\frac{1}{x^2-1}[/tex] è derivabile in [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ \pm 1\}$[/tex].
Questo fatto si estende anche al caso complesso (e te l'avranno detto all'inizio del corso e starà scritto pure sul libro), quindi la tua funzione è derivabile in tutti i punti di [tex]$\mathbb{C}\setminus \{2+k\pi,\ k\in \mathbb{Z}\}$[/tex], perchè [tex]$\sin (z-2)$[/tex] è derivabile e non nulla in tutti i punti di tale insieme.
Perciò [tex]\frac{1}{\sin (z-2)}[/tex] è olomorfa in [tex]$\mathbb{C}\setminus \{2+k\pi,\ k\in \mathbb{Z}\}$[/tex].
Il consiglio è: ripassati le regole di derivabilità di Analisi I.
Ad esempio, alla funzione [tex]\frac{1}{x^2-1}[/tex]... Puoi dire "a occhio" che essa non è derivabile in [tex]$\pm 1$[/tex] (punti in cui si annulla il denominatore) perchè la funzione non è continua in tali punti (e tu sai che la derivabilità implica la continuità, quindi se manca quest'ultima...).
Lo stesso vale per le funzioni olomorfe, ossia derivabili in senso complesso: se una funzione è derivabile in un punto allora è continua in quel punto.
La tua funzione [tex]\frac{1}{\sin (z-2)}[/tex] non è continua in quei punti in cui si annulla il denominatore (che sono del tipo [tex]$z=2+k\pi$[/tex], con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]), quindi come fa ad essere derivabile in tali punti?
Per il resto, è sempre un fatto noto da Analisi I che la funzione [tex]\frac{1}{f(x)}[/tex] è derivabile in tutti i punti in cui è derivabile e non nulla [tex]$f(x)$[/tex]: così la funzione [tex]\frac{1}{x^2-1}[/tex] è derivabile in [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ \pm 1\}$[/tex].
Questo fatto si estende anche al caso complesso (e te l'avranno detto all'inizio del corso e starà scritto pure sul libro), quindi la tua funzione è derivabile in tutti i punti di [tex]$\mathbb{C}\setminus \{2+k\pi,\ k\in \mathbb{Z}\}$[/tex], perchè [tex]$\sin (z-2)$[/tex] è derivabile e non nulla in tutti i punti di tale insieme.
Perciò [tex]\frac{1}{\sin (z-2)}[/tex] è olomorfa in [tex]$\mathbb{C}\setminus \{2+k\pi,\ k\in \mathbb{Z}\}$[/tex].
Il consiglio è: ripassati le regole di derivabilità di Analisi I.
Grazie ragazzi mi avete aiutato tantissimo XD
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