Olomorfia
Analitica ed olomorfa sono sinonimi?
Risposte
In $\CC$ le due cose si equivalgono, per altro in ambito reale il termine olomorfo è sinonimo di derivabile, ma non è usato.
Anche conforme (penso che "conformal" si traduca così) è sinonimo di olomorfa?
Conforme si dà ad un'applicazione tra superfici che conserva gli angoli, in onore agli studi di Gauss sulla possibilità di rappresentare la superficie terrestre su un piano.
Quindi mi sembra di capire che olomorfo non sia, in $CC$, equivalente a derivabile, dato che se la funzione non è conforme non è derivabile (non sussistono le equazioni di Cauchy-Riemann).
Una funzione da $\CC$ in $\CC$ si dice olomorfa se è derivabile in senso complesso; si dimostra che una funzione è olomorfa se e solo se verifica Cauchy-Riemann, e se e solo se è analitica.
Ma se non è conforme non verifica Cauchy-Riemann, o sbaglio?
"Ainéias":
Analitica ed olomorfa sono sinonimi?
No.
Una funzione complessa di variabile complessa è detta olomorfa se è derivabile in senso complesso. Una funzione è detta analitica se è la somma della sua serie di Taylor. Nel campo complesso, una funzione è olomorfa se e solo se è olomorfa. Quindi nel campo complesso i due concetti sono equivalenti (anche se distinti).
Ciao,
L.
Per elgiovo: dipende da cosa intendi per conforme.
Quello che hai detto tu: conserva gli angoli.
Anzi, credo di poter affermare che conformalità (o forse conformità?) implica analiticità.
"Lorenzo Pantieri":
[quote="Ainéias"]Analitica ed olomorfa sono sinonimi?
Nel campo complesso, una funzione è olomorfa se e solo se è olomorfa.
[/quote]
Questo è tautologico. Sicuramente volevi dire "Nel campo complesso, una funzione è olomorfa se e solo se è analitica".
"elgiovo":
[quote="Lorenzo Pantieri"][quote="Ainéias"]Analitica ed olomorfa sono sinonimi?
Nel campo complesso, una funzione è olomorfa se e solo se è olomorfa.
[/quote]
Questo è tautologico. Sicuramente volevi dire "Nel campo complesso, una funzione è olomorfa se e solo se è analitica".[/quote]
Sorry... certo!
Ciao,
L.
No, conforme non implica olmorfa; mi pare che il passaggio al coniugio sia un'applicazione conforme non analitica.
Questo è dovuto al fatto che il coniugio è ANTIconforme (cambia il segno degli angoli).
Le conformi sono derivabili in senso complesso, le anticonformi no.
Le conformi sono derivabili in senso complesso, le anticonformi no.
scusate, vorrei approfittarne x rispolverare alcuni concetti..
se non erro una funzione complessa f:sottoinsieme aperto di C -> C, f(z)=u(x,y)+iv(x,y) si dice olomorfa nell'insieme di definizione se:
1) u e v sono differenziabili in tutto l'insieme di definizione;
2)valgono le equazioni di cauchy riemann " " " .
Vero?
inoltre se non ricordo male una funzione complessa derivabile infinite volte nel suo insieme di definizione si dice analitica.
dato che in campo complesso una funzione è derivabile 1 volta <=> è derivabile infinite volte : f olomorda nel suo insieme di definizione <=> f è analitica nel suo insieme di definizione..
è così??
se non erro una funzione complessa f:sottoinsieme aperto di C -> C, f(z)=u(x,y)+iv(x,y) si dice olomorfa nell'insieme di definizione se:
1) u e v sono differenziabili in tutto l'insieme di definizione;
2)valgono le equazioni di cauchy riemann " " " .
Vero?
inoltre se non ricordo male una funzione complessa derivabile infinite volte nel suo insieme di definizione si dice analitica.
dato che in campo complesso una funzione è derivabile 1 volta <=> è derivabile infinite volte : f olomorda nel suo insieme di definizione <=> f è analitica nel suo insieme di definizione..
è così??
L'analiticità, per definizione, è il potersi sviluppare localmente in serie di potenze; si dimostra che per funzioni di variabile complessa l'analiticità equivale alla derivabilità, ovvero all'olomorfia.
grazie 
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