$ oint e^{3 /( z * ( z - 1 )) } dz $ con i residui ?
Salve a tutti sono nuovo di questo forum. A breve dovrò fare l'esame di metodi matematici e mi sono imbattuto in un integrale di cui non riesco a trovare soluzione.
L'integrale in questione è
$ oint e^{3 /( z * ( z - 1 )) } dz $
Dove Gamma è il cerchio di centro 1 e raggio 5.
Ho provato a fare lo sviluppi di Laurent ma non ci sono riuscito.
Potreste darmi qualche suggerimento anche se riuscite a fare solo lo sviluppo di Taylor dell'integranda ?
Grazie
ps sono disperato
L'integrale in questione è
$ oint e^{3 /( z * ( z - 1 )) } dz $
Dove Gamma è il cerchio di centro 1 e raggio 5.
Ho provato a fare lo sviluppi di Laurent ma non ci sono riuscito.
Potreste darmi qualche suggerimento anche se riuscite a fare solo lo sviluppo di Taylor dell'integranda ?
Grazie
ps sono disperato
Risposte
Dal teorema dei residui si sa che la somma totale dei residui, incluso quello all'infinito, è uguale a zero:
$Sigma_i Res(f(z),z_i) + Res(f(z),infty) = 0$
La funzione in questione ha due singolarità essenziali in zero e uno; invece di calcolare i residui in questi punti, è conveniente calcolare un solo residuo all'infinito:
$Res(f(z),infty) = -Res(f(z),z=0)-Res(f(z),z=1)$.
Ponendo $z=1/t$, si ha $dz=-1/(t^2) dt$ e $f(t)=e^(3t^2/(1-t))$; questo vuol dire che:
$Res(f(z),infty)=Res(-1/(t^2) f(t),t=0)$
Il residuo, per definizione, è il coefficiente $c_1$ dello sviluppo di Laurent, che quindi deve essere calcolato (in un intorno di $t=0$)
Ricordando lo sviluppo della funzione esponenziale ($e^x = 1 + x + (x^2)/(2!) + ...$) si ottiene:
$-1/(t^2) [1 + (3 t^2)/(1 - t) + (9 t^4)/(2(1 - t)^2) + ...] = -1/(t^2) - 3/(1 - t) - (9 t^2)/(2(1-t^2)) - ...$
E' palese che il termine di ordine $-1$ sia $-3/(1-t)$...
$Sigma_i Res(f(z),z_i) + Res(f(z),infty) = 0$
La funzione in questione ha due singolarità essenziali in zero e uno; invece di calcolare i residui in questi punti, è conveniente calcolare un solo residuo all'infinito:
$Res(f(z),infty) = -Res(f(z),z=0)-Res(f(z),z=1)$.
Ponendo $z=1/t$, si ha $dz=-1/(t^2) dt$ e $f(t)=e^(3t^2/(1-t))$; questo vuol dire che:
$Res(f(z),infty)=Res(-1/(t^2) f(t),t=0)$
Il residuo, per definizione, è il coefficiente $c_1$ dello sviluppo di Laurent, che quindi deve essere calcolato (in un intorno di $t=0$)
Ricordando lo sviluppo della funzione esponenziale ($e^x = 1 + x + (x^2)/(2!) + ...$) si ottiene:
$-1/(t^2) [1 + (3 t^2)/(1 - t) + (9 t^4)/(2(1 - t)^2) + ...] = -1/(t^2) - 3/(1 - t) - (9 t^2)/(2(1-t^2)) - ...$
E' palese che il termine di ordine $-1$ sia $-3/(1-t)$...
Innanzi tutto, ti ringrazio molto per la risposta chiara ed esauriente; mi hai aperto la mente, non avevo minimamente pensato ai residui all'infinito. Vorrei avere conferma di un'ultima cosa però. Quanto vale numericamente il residuo all'infinito ? ( credo$ -3 $ ) Riesco ad individuare il coefficiente di ordine -1 dello sviluppo di Laurent ma non sono sicuro al 100% del coefficiente di quest'ultimo ( anche se può sembrare banale, e per questo chiedo scusa in anticipo ). Con l'ultimo passaggio non avrei più dubbi. La mia idea è che il risultato finale dell'integrale sia $ 3 $
Ti ringrazio molto
Ti ringrazio molto
@VINX89: Dare un suggerimento è diverso dallo svolgere completamente un esercizio... Tienilo presente.
@gugo82
è vero, avevo chiesto solo un suggerimento, tuttavia un'esempio svolto bene a volte è meglio di tante spiegazioni. Ovviamente questa è una mia idea.
è vero, avevo chiesto solo un suggerimento, tuttavia un'esempio svolto bene a volte è meglio di tante spiegazioni. Ovviamente questa è una mia idea.
"ack6":
@gugo82
è vero, avevo chiesto solo un suggerimento, tuttavia un'esempio svolto bene a volte è meglio di tante spiegazioni. Ovviamente questa è una mia idea.
ack6,
il punto è che questo non è un forum dove Tizio posta un esercizio e Caio lo risolve.
@luca.barletta
La mia opinione resta in piedi, inoltre la maggior parte dei post che ho letto trattano la situazione da te descritta e non capisco perchè su questo ci sia da ridire qualcosa e su altri no, d'altro canto è invitabile per la natura stessa dell'argomento trattato evitare di fare "conti"; rispetto la tua idea ma dal primo post si evince che avevo chieso solo un suggerimento, l'utente vinx89 è stato così gentile da propormi addirittura uno svolgimento che tra l'altro ho apprezzato molto perchè mi ha chiarito varie cose che esulavano dalla mia richiesta iniziale, in definitiva quindi il rispondere in modo esteso alla domanda non mi ha fornito un semplice risultato ma mi ha dato un qualcosa in più che ho ben apprezzato. La mia idea è che questa è un argomento positivo a favore dello " svolgere a volte gli esercizi ".
Aggiungo onde evitare discussioni che tutto quello che ho scritto è una mia idea, un mio pensiero e nulla più. Se in qualche modo ho violato qualche punto del regolamento anzi, ti prego di farmelo presente.
La mia opinione resta in piedi, inoltre la maggior parte dei post che ho letto trattano la situazione da te descritta e non capisco perchè su questo ci sia da ridire qualcosa e su altri no, d'altro canto è invitabile per la natura stessa dell'argomento trattato evitare di fare "conti"; rispetto la tua idea ma dal primo post si evince che avevo chieso solo un suggerimento, l'utente vinx89 è stato così gentile da propormi addirittura uno svolgimento che tra l'altro ho apprezzato molto perchè mi ha chiarito varie cose che esulavano dalla mia richiesta iniziale, in definitiva quindi il rispondere in modo esteso alla domanda non mi ha fornito un semplice risultato ma mi ha dato un qualcosa in più che ho ben apprezzato. La mia idea è che questa è un argomento positivo a favore dello " svolgere a volte gli esercizi ".
Aggiungo onde evitare discussioni che tutto quello che ho scritto è una mia idea, un mio pensiero e nulla più. Se in qualche modo ho violato qualche punto del regolamento anzi, ti prego di farmelo presente.
"ack6":
Aggiungo onde evitare discussioni che tutto quello che ho scritto è una mia idea, un mio pensiero e nulla più. Se in qualche modo ho violato qualche punto del regolamento anzi, ti prego di farmelo presente.
E' stato violato il punto 1.2 del regolamento, ma non da te, d'altronde non ti ho mai contestato una violazione del regolamento.
Mi dispiace se ho violato qualche punto del regolamento: non era mia intenzione.
Tuttavia, nel caso specifico non sapevo in quale altro modo avrei potuto dare un aiuto concreto.
Tuttavia, nel caso specifico non sapevo in quale altro modo avrei potuto dare un aiuto concreto.
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