Ogni successione a termini reali possiede una sottosuccessione monotona
Buongiorno, volevo chiedere alcune delucidazioni su una dimostrazione fatta in classe dal professore oggi.
Teorema: ogni successione in $\Re$ possiede una sottosuccessione monotona.
Dim:
definisco $(a_n)_n$ in $\Re $
definisco $G={ n in N$ $ t.c. a_mn }$
Ci ha inoltre fatto due esempi mostrandoci che $G$ può essere sia finito che infinito, vorrei soffermarmi sul caso finito.
Esempio: la successione è del tipo: $a_0 = 2 , a_1=0 , a_2=1 , a_3=0 , a_4=-1/2 , a_5 =-1/3 , ...$ e la serie continua con un generico termine $a_n=-1/(n-2)$ quindi per $n \geq 4$ i termini non potranno appartenere a $G$. Quindi $G={ 0, 2, 3}$
Nel caso in cui G sia finito la dimostrazione è la seguente e a detta del prof dovrebbe portare alla costruzione di una sottosuccessione monotona crescente:
1) G finito
$\exists \bar n = max G$ (quindi uguale a 3 nell'esempio)
$n_0 = \bar n +1$ $ \notin G$
$\Rightarrow \exists n_1>n_0 : a_{n_1} \geq a_{n_0}$
$n_1 \in G \Rightarrow \exists n_2>n_1 : a_{n_2} \geq a_{n_1}$
e si procede avanti così.
Il mio dubbio sorge dal fatto che lui sostiene che così si crea una successione monotona crescente che per logica, riprendendo l'esempio da lui portato dovrebbe essere del tipo: $a_0 = 0 , a_1=1 , a_2=2 }$ mentre procedendo con il metodo della dimostrazione la mia successione dovrebbe essere formata solo da $a_0 = 0$, secondo me potrebbe aver invertito il simbolo di minore con quello di maggiore in $n_1 > n_0$ e quelli successivi.
Non sto capendo io oppure c'è un errore nella dimostrazione?
Teorema: ogni successione in $\Re$ possiede una sottosuccessione monotona.
Dim:
definisco $(a_n)_n$ in $\Re $
definisco $G={ n in N$ $ t.c. a_m
Ci ha inoltre fatto due esempi mostrandoci che $G$ può essere sia finito che infinito, vorrei soffermarmi sul caso finito.
Esempio: la successione è del tipo: $a_0 = 2 , a_1=0 , a_2=1 , a_3=0 , a_4=-1/2 , a_5 =-1/3 , ...$ e la serie continua con un generico termine $a_n=-1/(n-2)$ quindi per $n \geq 4$ i termini non potranno appartenere a $G$. Quindi $G={ 0, 2, 3}$
Nel caso in cui G sia finito la dimostrazione è la seguente e a detta del prof dovrebbe portare alla costruzione di una sottosuccessione monotona crescente:
1) G finito
$\exists \bar n = max G$ (quindi uguale a 3 nell'esempio)
$n_0 = \bar n +1$ $ \notin G$
$\Rightarrow \exists n_1>n_0 : a_{n_1} \geq a_{n_0}$
$n_1 \in G \Rightarrow \exists n_2>n_1 : a_{n_2} \geq a_{n_1}$
e si procede avanti così.
Il mio dubbio sorge dal fatto che lui sostiene che così si crea una successione monotona crescente che per logica, riprendendo l'esempio da lui portato dovrebbe essere del tipo: $a_0 = 0 , a_1=1 , a_2=2 }$ mentre procedendo con il metodo della dimostrazione la mia successione dovrebbe essere formata solo da $a_0 = 0$, secondo me potrebbe aver invertito il simbolo di minore con quello di maggiore in $n_1 > n_0$ e quelli successivi.
Non sto capendo io oppure c'è un errore nella dimostrazione?
Risposte
E be se n0 e' il massimo, ovvio che si, ha invertito
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