Ogni stellato è semplicemente connesso---Dini continuità

[edge1]

Allora ragazzi :
1)Come si potrebbe dimostrare che ogni stellato è semplicemente connesso?Su questo proprio non so da dove cominciare quindi spero in una spiegazione da un sapiente di voi o un link esterno

2)Devo dimostrare che la funzione definita implicitamente dal teorema del Dini è continua,qui ho solamente un dubbio,ve lo espongo:
Con $f$ indico la funzione trovata con $F$ la funzione da cui è stata esplicitata ,con $I$ il domio di essa ed infine con $J$ il codominio di questa.
Dobbiamo dimostrare che dato un $x'$ del dominio $I$ $|f(x')-f(x)|<£$ per opportuni $x in I$ opportunamente vicini ad $x'$.
Visto che $f(x') in J$ allora prendiamo un $£ : [f(x')-£,f(x')+£] in J $,fatto questo ricordando che $F(x',f(x'))=0$ e che la funzione $y->F(x',y)$ nella sola $y$ è strettamente crescente in tutto $J$ limititamente ad $y in f(x')-£,f(x')+£ $ avremo:
$F(x',f(x')-£ <0 Ora c'è la parte dove ho un dubbio, essendo che $F(x,f(x))=0$ e ricordando che per ogni $x in I$ la funzione $y->F(x,y)$ è crescente allora abbiamo $f(x')-£ Grazie per le risposte.

[enr87]

per quanto riguada dini cerco di riassumere il ragionamento fatto, a te dovrebbe interessare solo la parte che segue la (2). tieni conto che non sarò molto rigoroso.
intanto mi pare di capire che stai affrontando la dimostrazione nel caso di funzioni da R^2 in R, quindi non per funzioni vettoriali.
se non ho capito male, f è la funzione implicitamente definita da F in un intorno di un certo punto (x0, y0). ti sei dimenticato di specificare che prendi la derivata rispetto a y positiva in (x0, y0), e F(x0, y0) = 0, o almeno così mi pare di capire da quello che asserisci. meglio comunque che riporti tutto il teorema, così capisco meglio le convenzioni che usi.

tu vuoi dimostrare la continuità di f, ovvero che $ \forall \epsilon , \ \exists \delta \ : \ |f(x) - f(x_0)| < \epsilon $ se $ |x-x_0| < \delta $.
allora procediamo così: sappiamo che, essendo F continua, vale il t della permanenza del segno, per cui se

$ F(x_0, f(x_0) - \epsilon) < 0 < F(x_0, f(x_0) + \epsilon)$ (1)

(e questo fatto è ovvio perchè $ F_y > 0$) allora esiste un intorno di x_0 di raggio $ \delta $ tale che, se x appartiene a tale intorno, la (1) diventa

$ F(x, f(x_0) - \epsilon) < 0 < F(x, f(x_0) + \epsilon) $ (2)

ma sappiamo che F(x, f(x)) = 0 (vale solo in un determinato rettangolo contenente (x_0, y_0)), per cui (2) diventa:

$ F(x, f(x_0) - \epsilon) < F(x, f(x)) < F(x, f(x_0) + \epsilon) $ (3)

epsilon è preso in maniera tale che F sia crescente rispetto a y nell'intervallo $ ( f(x_0) - \epsilon, f(x_0) + \epsilon) $, quindi è "arbitrariamente piccolo" come volevamo.

a questo punto deve per forza valere $ f(x_0) - \epsilon < f(x) < f(x_0) + \epsilon $ per $ |x - x_0| < \delta $

sopra non ho specificato il rettangolo intorno di (x_0, y_0), ma penso fosse già chiaro

PS: frequenti l'università a padova per caso?

[edge1]

Le ipotesi fatte da te sono tutte corrette ,lavoro in $R^2$ la $del F/(del y) >0$ quindi la F è crescente.
Una cosa ti volevo chiedere però:
Da qui :1) $F(x,f(x)-£) Comunque studio a Pisa .Tu che studi?

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"edge":Le ipotesi fatte da te sono tutte corrette ,lavoro in $R^2$ la $del F/(del y) >0$ quindi la F è crescente.
Una cosa ti volevo chiedere però:
Da qui :1) $F(x,f(x)-£) Comunque studio a Pisa .Tu che studi?

non è una "semplificazione", nel senso che dividi tutto per lo scalare x: (x, f(x)) è un punto, o se preferisci un vettore che individua un punto, quindi non puoi semplficare una delle sue coordinate.
detto un po' meglio però: sai che la derivata rispettto a y è maggiore di 0 per tutte le $ \x \in \ (x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ e per tutto l'intervallo $ (f(x_0) - \epsilon, f(x_0) + \epsilon) $, quindi ti trovi in un rettangolo in cui sicuramente $\F_y > 0$.
limitatamente al rettangolo, se fissi una x avrai sempre che (3) è soddisfatta. adesso devi pensare che, fissata questa x, ti stai muovendo solo sull'asse delle y.. ma lungo l'asse y la derivata di F era positiva, il che significa che lungo questo segmento che percorri, F cresce perchè cresce la sua coordinata y. se ti è più semplice, immagina di camminare su F dal punto di coordinate $ (x, f(x_0) - \epsilon) $ e dover arrivare al punto (x, f(x_0) + \epsilon) andando sempre diritto (cioè parallelamente all'asse y, in modo di non variare mai l'ascissa). la strada che fai è tutta in salita, e quando passi in F=0 ti trovi nel punto (x, f(x)). proseguendo arrivi a (x, f(x_0) + \epsilon), e dunque f(x) si deve trovare tra i due estremi y.
questa è l'immagine che ho io della situazione, spero di esserti stato utile
comunque studio ingegneria, tu?

[edge1]

Si sei stato utile,comunque studio ing. informatica,se hai qualche problema su analisi 2 posta ,ti devo un favore.