Ogni misura sigma-finita è regolare?
Ciao a tutti.
A lezione abbiamo dimostrato che se $X$ è un spazio metrico, $B$ è la $\sigma$-algebra di Borel su X e $\mu$ è una misura finita su $B$, allora $\mu$ è regolare.
Per esercizio dobbiamo dimostrare che il risultato vale anche se $\mu$ è $\sigma$-finita (i.e. $X$ si scrive come unione numerabile di $X_n$ di misura finita).
Ho provato ma non sono riuscito e non sono del tutto convinto che sia vero: mi sapete dire se lo è?
A lezione abbiamo dimostrato che se $X$ è un spazio metrico, $B$ è la $\sigma$-algebra di Borel su X e $\mu$ è una misura finita su $B$, allora $\mu$ è regolare.
Per esercizio dobbiamo dimostrare che il risultato vale anche se $\mu$ è $\sigma$-finita (i.e. $X$ si scrive come unione numerabile di $X_n$ di misura finita).
Ho provato ma non sono riuscito e non sono del tutto convinto che sia vero: mi sapete dire se lo è?
Risposte
Scusa, ma cos'è una misura finita? cioè che non assegna banalmente ad ogni insieme di borel una misura infinita?
No no, $\mu$ è finita semplicemente se $\mu(X)<\infty$
Circa la compattezza nessuna ipotesi?
No nessuna.
Secondo me a questo livello di generalità non so cosa si possa dire, io conosco due teoremi, quello più generale assume una misura di borel e gli aperti sigma-compatti, oltre al fatto che i compatti hanno misura finita.
Non è che per caso X è compatto?
Non è che per caso X è compatto?
No, $X$ non è compatto, è solo uno spazio metrico. Anche perché dopo devo applicare questo risultato alla misura di Lebesgue su $R^m$.
Questo rientrerebbe nelle ipotesi del teorema che hai tu, però a me è stato chiesto di dimostrarlo nel caso più generale in cui ipotizzo solo $\mu$ è $\sigma$-finita.
Questo rientrerebbe nelle ipotesi del teorema che hai tu, però a me è stato chiesto di dimostrarlo nel caso più generale in cui ipotizzo solo $\mu$ è $\sigma$-finita.
Che io sappia serve qualche ipotesi di $sigma$-compattezza, come dice regim. Ma ne so pochino... Comunque leggo su Real and complex analysis, §2.18:
Se
Se
[*:2u8lpfax]$X$ è uno spazio topologico di Hausdorff, localmente compatto; [/*:m:2u8lpfax]
[*:2u8lpfax]ogni aperto $A$ di $X$ è unione numerabile di compatti; [/*:m:2u8lpfax]
[*:2u8lpfax]$\mu$ è una misura Boreliana finita sui compatti di $X$;[/*:m:2u8lpfax][/list:u:2u8lpfax]
allora $mu$ è regolare dall'interno e dall'esterno nel senso che per ogni parte Boreliana $M$ di $X$ si ha
$mu(M)="sup"(mu(K)\ :\ K \subset M,\ K\ "compatto")="inf"(mu(A)\ :\ M \subset A,\ A\ "aperto")$.
La misura è di borel?
[edit] non puoi postare la dimostrazione del prof o anche solo descriverla a grandi linee? grazie
[edit] non puoi postare la dimostrazione del prof o anche solo descriverla a grandi linee? grazie
L'enunciato è:
Sia $X$ uno spazio metrico, sia $B$ la $\sigma$-algebra di Borel su X, sia $\mu$ una misura su $B$, $\mu$ $\sigma$-finita.
Allora $\mu$ è regolare, cioè: $\forall A\in B$
$\mu(A)=\text{inf}{\mu(O) | O \text{aperto di} X, A\subset O}=\text{sup}{\mu(F) | F \text{chiuso di} X, F\subset A}$ (chiamiamo * questa proprietà)
La dimostrazione, supponendo $\mu$ finita, si fa mostrando che tutti i chiusi hanno la proprietà *. Si fa poi vedere che l'insieme dei boreliani che hanno la proprietà * forma una $\sigma$-algebra. Si conclude che dunque tutti i boreliani devono avere la proprietà *.
Nel caso di $\mu$ $\sigma$-finita, cioè $X=U X_n$ con $\mu(X_n)<\infty$, avevo pensato di fissare un borelliano $A$ e considerare tutte le sue intersezioni $A\cap X_n$.
Poiché gli $X_n$ hanno misura finita, posso applicare il risultato precedente agli $A\cap X_n$: posso approssimare la misura di $A\cap X_n$
- dall'interno con un chiuso di $X_n$, ossia $F_n\cap X_n$ dove $F_n$ è un chiuso di $X$
- dall'esterno con un aperto di $X_n$, ossia $O_n\cap X_n$ dove $O_n$ è un aperto di $X$.
Ora considero $U O_n = (U O_n) \cap (U X_n) = U (O_n \cap X_n)$ è un aperto di X e approssima $A$ dall'esterno. (in realtà non so se il secondo $=$ è vero, lo è?)
Il problema è con i chiusi: $U F_n$ non è un chiuso! Si può pensare di approssimarlo con un'unione finita di $F_n \cap X_n$, ma nemmeno questa è chiusa!
Quindi non so come fare.. forse se potessi considerare gli $X_n$ come chiusi, invece che generici boreliani, riuscirei a concludere (ma questo è sempre possibile per una misura $\sigma$-finita o sarebbe un'ipotesi aggiuntiva?)
Sia $X$ uno spazio metrico, sia $B$ la $\sigma$-algebra di Borel su X, sia $\mu$ una misura su $B$, $\mu$ $\sigma$-finita.
Allora $\mu$ è regolare, cioè: $\forall A\in B$
$\mu(A)=\text{inf}{\mu(O) | O \text{aperto di} X, A\subset O}=\text{sup}{\mu(F) | F \text{chiuso di} X, F\subset A}$ (chiamiamo * questa proprietà)
La dimostrazione, supponendo $\mu$ finita, si fa mostrando che tutti i chiusi hanno la proprietà *. Si fa poi vedere che l'insieme dei boreliani che hanno la proprietà * forma una $\sigma$-algebra. Si conclude che dunque tutti i boreliani devono avere la proprietà *.
Nel caso di $\mu$ $\sigma$-finita, cioè $X=U X_n$ con $\mu(X_n)<\infty$, avevo pensato di fissare un borelliano $A$ e considerare tutte le sue intersezioni $A\cap X_n$.
Poiché gli $X_n$ hanno misura finita, posso applicare il risultato precedente agli $A\cap X_n$: posso approssimare la misura di $A\cap X_n$
- dall'interno con un chiuso di $X_n$, ossia $F_n\cap X_n$ dove $F_n$ è un chiuso di $X$
- dall'esterno con un aperto di $X_n$, ossia $O_n\cap X_n$ dove $O_n$ è un aperto di $X$.
Ora considero $U O_n = (U O_n) \cap (U X_n) = U (O_n \cap X_n)$ è un aperto di X e approssima $A$ dall'esterno. (in realtà non so se il secondo $=$ è vero, lo è?)
Il problema è con i chiusi: $U F_n$ non è un chiuso! Si può pensare di approssimarlo con un'unione finita di $F_n \cap X_n$, ma nemmeno questa è chiusa!
Quindi non so come fare.. forse se potessi considerare gli $X_n$ come chiusi, invece che generici boreliani, riuscirei a concludere (ma questo è sempre possibile per una misura $\sigma$-finita o sarebbe un'ipotesi aggiuntiva?)
Se lo spazio metrico fosse separabile allora...
Assumendo gli elementi di una sigma algebra quelli per cui vale la proprietà di cui sopra possiamo provare che si tratta efettivamente di una sigma algebra, ma ce la fai a trovare un intersezione numerabili di aperti che sia uguale ad un chiuso? oppure un unione numerabile di chiusi la cui unione sia un aperto, per provare la regolarità degli aperti o dei chiusi?
A parte che io conoscevo la regolarità interna con i compatti non con i chiusi, i compatti sono chiusi e limitati, ma non è vero il contrario.
Puoi dirmi come fai a provare la regolarità esterna dei chiusi?
Assumendo gli elementi di una sigma algebra quelli per cui vale la proprietà di cui sopra possiamo provare che si tratta efettivamente di una sigma algebra, ma ce la fai a trovare un intersezione numerabili di aperti che sia uguale ad un chiuso? oppure un unione numerabile di chiusi la cui unione sia un aperto, per provare la regolarità degli aperti o dei chiusi?
A parte che io conoscevo la regolarità interna con i compatti non con i chiusi, i compatti sono chiusi e limitati, ma non è vero il contrario.
Puoi dirmi come fai a provare la regolarità esterna dei chiusi?
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