[ODE]Esplosione in tempo finito
Mi sono ritrovato con una equazione differenziale ordinaria non lineare:
\[r''(t)-\alpha r(t)^{\alpha-1}=0,\quad r(t)\ge 0\]
dove \(\alpha>2\). Vorrei dimostrare che, se il dato iniziale non è nullo, la soluzione esplode in un tempo finito. Secondo voi come potrei fare? Non mi viene in mente nessuna tecnica di integrazione esplicita, quindi mi sa che ci vuole qualche workaround. Ma magari mi sbaglio, e in realtà è molto semplice.
\[r''(t)-\alpha r(t)^{\alpha-1}=0,\quad r(t)\ge 0\]
dove \(\alpha>2\). Vorrei dimostrare che, se il dato iniziale non è nullo, la soluzione esplode in un tempo finito. Secondo voi come potrei fare? Non mi viene in mente nessuna tecnica di integrazione esplicita, quindi mi sa che ci vuole qualche workaround. Ma magari mi sbaglio, e in realtà è molto semplice.
Risposte
Provato a moltiplicare per [tex]$r^\prime$[/tex] e ad integrare m.a.m. sfruttando il dato iniziale (ossia [tex]$r(t_0)=r_0,\ r^\prime(t_0)=r_1$[/tex])?
Fatto ciò dovrebbe uscire fuori un'equazione del primo ordine non lineare, se l'occhio non mi inganna (poichè [tex]$r^{\prime \prime}\ r^\prime$[/tex] è la derivata di [tex]$(r^\prime)^2$[/tex] e [tex]$\alpha\ r^{\alpha -1}\ r^\prime$[/tex] è la derivata di [tex]$r^\alpha$[/tex]).
Fatto ciò dovrebbe uscire fuori un'equazione del primo ordine non lineare, se l'occhio non mi inganna (poichè [tex]$r^{\prime \prime}\ r^\prime$[/tex] è la derivata di [tex]$(r^\prime)^2$[/tex] e [tex]$\alpha\ r^{\alpha -1}\ r^\prime$[/tex] è la derivata di [tex]$r^\alpha$[/tex]).
L'occhio non ti inganna: procedendo come dici infatti si trova l'integrale primo
\[\frac{\dot{r}^2}{2}-r^{\alpha}=\text{costante};\]
ovvero l'integrale primo dell'energia (il primo termine è un'energia cinetica, il secondo un'energia potenziale). Quindi il passaggio è certamente corretto, ma ti dico la verità, non saprei come servirmene... Magari domani a mente fresca mi viene qualche idea.
\[\frac{\dot{r}^2}{2}-r^{\alpha}=\text{costante};\]
ovvero l'integrale primo dell'energia (il primo termine è un'energia cinetica, il secondo un'energia potenziale). Quindi il passaggio è certamente corretto, ma ti dico la verità, non saprei come servirmene... Magari domani a mente fresca mi viene qualche idea.
[Premessa: controlla quello che scrivo perché su queste cose sono un po' arrugginito]
Sai che $r''\ge 0$, quindi in particolare $r'$ è crescente; inoltre, dall'equazione $\frac{(r')^2}{2} - r^{\alpha} = c$ ottieni che $c\ge 0$.
Cerchiamo soluzioni non identicamente nulle, che sono quelle corrispondenti a $c>0$.
Supponiamo $r'(0) \ge 0$; per quanto detto sopra avremo $r'(t) \ge 0$ per ogni $t\ge 0$, e inoltre
$r'(t) = 2\sqrt{c + r^{\alpha}}$.
Da qui, posto $r_0 := r(0) \ge 0$.
$\int_{r_0}^r \frac{1}{2\sqrt{c+\rho^{\alpha}}} d\rho = t$;
poiché $\alpha > 2$, l'integrale a primo membro converge quando $r\to +\infty$, e dunque la soluzione esplode in tempo finito.
Se $r'(0) < 0$, la soluzione $r(t)$ arriva in tempo finito, e con derivata negativa, nell'origine (ma forse questo caso non ti interessa...)
Sai che $r''\ge 0$, quindi in particolare $r'$ è crescente; inoltre, dall'equazione $\frac{(r')^2}{2} - r^{\alpha} = c$ ottieni che $c\ge 0$.
Cerchiamo soluzioni non identicamente nulle, che sono quelle corrispondenti a $c>0$.
Supponiamo $r'(0) \ge 0$; per quanto detto sopra avremo $r'(t) \ge 0$ per ogni $t\ge 0$, e inoltre
$r'(t) = 2\sqrt{c + r^{\alpha}}$.
Da qui, posto $r_0 := r(0) \ge 0$.
$\int_{r_0}^r \frac{1}{2\sqrt{c+\rho^{\alpha}}} d\rho = t$;
poiché $\alpha > 2$, l'integrale a primo membro converge quando $r\to +\infty$, e dunque la soluzione esplode in tempo finito.
Se $r'(0) < 0$, la soluzione $r(t)$ arriva in tempo finito, e con derivata negativa, nell'origine (ma forse questo caso non ti interessa...)
Grande Rigel! Io avevo formulato una soluzione alternativa: partendo da
o, più precisamente, dal problema di Cauchy
${(r'(t) = 2\sqrt{c + r^{\alpha}}), (r(0)=r_0>0):}$
(la condizione $r_0>0$ mi serve per il passaggio successivo) ho considerato il problema di Cauchy
${(s'(t)=2\sqrt{r^{\alpha}}), (s(0)=r_0):}$
la cui soluzione verifica la disuguaglianza $s(t)\le r(t)\ "per"\ t\ge 0$, perché $c>0$. Questo problema di Cauchy si integra a variabili separabili ed $s$ esplode in tempo finito, quindi anche $r$ esplode in tempo finito.
Questa soluzione non mi dispiace, ma ha il problema di richiedere $r_0>0$ perché altrimenti il "sottoproblema" ha solo la soluzione identicamente nulla (limitazione che si può togliere facendo qualche fastidioso giro). Invece la tua soluzione mi sconfinfera molto di più perché è diretta e informa anche sul caso di velocità iniziale negativa, il che non guasta.
"Rigel":
$r'(t) = 2\sqrt{c + r^{\alpha}}$.
o, più precisamente, dal problema di Cauchy
${(r'(t) = 2\sqrt{c + r^{\alpha}}), (r(0)=r_0>0):}$
(la condizione $r_0>0$ mi serve per il passaggio successivo) ho considerato il problema di Cauchy
${(s'(t)=2\sqrt{r^{\alpha}}), (s(0)=r_0):}$
la cui soluzione verifica la disuguaglianza $s(t)\le r(t)\ "per"\ t\ge 0$, perché $c>0$. Questo problema di Cauchy si integra a variabili separabili ed $s$ esplode in tempo finito, quindi anche $r$ esplode in tempo finito.
Questa soluzione non mi dispiace, ma ha il problema di richiedere $r_0>0$ perché altrimenti il "sottoproblema" ha solo la soluzione identicamente nulla (limitazione che si può togliere facendo qualche fastidioso giro). Invece la tua soluzione mi sconfinfera molto di più perché è diretta e informa anche sul caso di velocità iniziale negativa, il che non guasta.
Vorrei richiamare questo thread dalla tomba per cercare di generalizzare un po' il risultato ottenuto. Leggo infatti sul Pagani-Salsa vol.II, pagina 221 (cito non alla lettera):
Consideriamo l'equazione autonoma scalare di Newton
\[\tag{*}\ddot{y}=f(y),\]
che modellizza un sistema conservativo ad un grado di libertà. Sia \(V\) una primitiva di \(-f\).
[... nel seguito mostra che, se \(\varphi\) è una soluzione di (*), allora
\[\tag{I}\frac{\dot{\varphi}(t)^2}{2}+V(\varphi(t))=E\]
dove \(E\) è una costante dipendente solo dai dati iniziali. ]
Il libro osserva che se \(V\) è limitata dal basso, diciamo \(V(y) \ge C_0\) ogni soluzione di (*) è definita per tutti i tempi. Per mostrare ciò gli basta integrare ambo i membri della seguente disuguaglianza:
\[\lvert \dot{\varphi}(t)\rvert \le \sqrt{2(E-C_0)}\]
ottenendo \(\lvert \varphi(t) \rvert \le \lvert t\rvert \sqrt{2(E-C_0)} + \lvert \varphi(0) \rvert\). Questo esclude che \(\varphi\) possa esplodere in tempo finito garantendone così l'esistenza per tutti i tempi.
Come ottenere un risultato più generale?
Le considerazioni fatte precedentemente in questo topic, infatti, lasciano intendere che sarebbe sufficiente una stima dal basso di tipo
\[V(y) \ge -\lvert y\rvert ^\alpha - C_0\]
con \(\alpha\) non troppo grosso, per avere esistenza della soluzione a tutti i tempi. Ma come generalizzare la tecnica usata da Rigel?
Consideriamo l'equazione autonoma scalare di Newton
\[\tag{*}\ddot{y}=f(y),\]
che modellizza un sistema conservativo ad un grado di libertà. Sia \(V\) una primitiva di \(-f\).
[... nel seguito mostra che, se \(\varphi\) è una soluzione di (*), allora
\[\tag{I}\frac{\dot{\varphi}(t)^2}{2}+V(\varphi(t))=E\]
dove \(E\) è una costante dipendente solo dai dati iniziali. ]
Il libro osserva che se \(V\) è limitata dal basso, diciamo \(V(y) \ge C_0\) ogni soluzione di (*) è definita per tutti i tempi. Per mostrare ciò gli basta integrare ambo i membri della seguente disuguaglianza:
\[\lvert \dot{\varphi}(t)\rvert \le \sqrt{2(E-C_0)}\]
ottenendo \(\lvert \varphi(t) \rvert \le \lvert t\rvert \sqrt{2(E-C_0)} + \lvert \varphi(0) \rvert\). Questo esclude che \(\varphi\) possa esplodere in tempo finito garantendone così l'esistenza per tutti i tempi.
Come ottenere un risultato più generale?
Le considerazioni fatte precedentemente in questo topic, infatti, lasciano intendere che sarebbe sufficiente una stima dal basso di tipo
\[V(y) \ge -\lvert y\rvert ^\alpha - C_0\]
con \(\alpha\) non troppo grosso, per avere esistenza della soluzione a tutti i tempi. Ma come generalizzare la tecnica usata da Rigel?
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