ODE y'(x) = (2x + y(x))^2

[Shaka11]

Salve ,amici!

Ho provato a risolvere la suddetta equazione differenziale ma la derivata della soluzione trovata ( y(x) = -2x + 2^0.5 tg[ 2^0.5 (x + k)] ) non corrisponde a (2x + y(x))^2.

Non capisoc il perchè..

[Shaka11]

ps: k è la costante arbitraria.

[piero_1]

[quote=Shaka][/quote]

ciao, stiamo parlando di questa? $y'(x) = (2x + y(x))^2 $

[ciampax]

Se poni $2x+y=z$, allora $y'=z'-2$ da cui l'equazione $z'=z^2+2$ il cui integrale generale è $x+k=\frac{\sqrt{2}}{2}\ \arctan(z/\sqrt{2})$ e quindi $z(x)=\sqrt{2}\ \tan(\sqrt{2}(x+k))$. La soluzione generale è pertanto

$y(x)=-2x+\sqrt{2}\ \tan(\sqrt{2}(x+k))$.

E fin qui tutto giusto. Ora, la derivata viene

$y'(x)=-2+\sqrt{2}\cdot[1+\tan^2(\sqrt{2}(x+k))]\cdot\sqrt{2}=2\tan^2(\sqrt{2}(x+k))=(2x+y(x))^2$

e quindi è il risultato corretto!

[Shaka11]

Chiedo scusa per il disturbo..errore mio e di quando si rifanno i calcoli sempre sullo stesso foglio ingarbugliato!

Grazie mille!