ODE: Un problema di inseguimento
Buona sera, forum! Vi propongo un esercizio preso dal Pagani Salsa volume 2, numero 25 pag 233, che mi sta dando qualche problema!
Esercizio. un punto P si muove nel piano \((x,y)\) lungo l'asse \(y\), mentre un altro punto T lo "insegue" mantenendo costante (\(=a\)) la distanza da P. Il termine "insegue" è riferito al fatto che il moto di T è sempre diretto verso P.
Determinare la traiettoria di T supponendo che P parta dall'origine e T dal punto \((a,0)\).
Mio svolgimento
Costruendo una bozza di traiettoria e tracciando la tangente nel punto \(y,t\), trovo che riesco ad esprimere \(a\) come
\[
a = \sqrt{t^2(1+\dot{y}^2)}
\]
da cui, imponendo che la distanza \(a\) sia costante
\[
\dot{a}(t) = \frac{1+\dot{y}^2+ t\dot{y}\ddot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}} = 0
\]
cioè
\[
1+\dot{y}^2+ t\dot{y}\ddot{y} = 0
\]
quindi
\[
\ddot{y} = -\frac{1+\dot{y}^2}{t\dot{y}}
\]
che è un'ODE del primo ordine in \(\dot{y}\).
Prima provo a risolverla come ODE esatta, ma la forma differenziale \(\omega\) associata non è esatta, quindi devo ripiegare.
Provo ora a vederla come equazione di Bernoulli,
\[
\dot{x} = P(t)x + Q(y)x^\alpha
\]
Nel mio caso è \(x = \dot{y}\) e \(\alpha = -1\). Svolgo i conti ed applico la sostituzione standard per queste equazioni e, svolti i conti, applicata la condizione iniziale \(\dot{y}(0) = 0\), mi trovo infine con
\[
\dot{y} = \sqrt{\frac{a^2}{t^2} - 1}
\]
A questo punto penso che dovrei integrarla per ottenere la traiettoria, ma non riesco a svolgere questo integrale, e dopo tutto ciò che ho scritto comincio a sospettare che ci sia qualche errore!
Che ne dite?
Esercizio. un punto P si muove nel piano \((x,y)\) lungo l'asse \(y\), mentre un altro punto T lo "insegue" mantenendo costante (\(=a\)) la distanza da P. Il termine "insegue" è riferito al fatto che il moto di T è sempre diretto verso P.
Determinare la traiettoria di T supponendo che P parta dall'origine e T dal punto \((a,0)\).
Mio svolgimento
Costruendo una bozza di traiettoria e tracciando la tangente nel punto \(y,t\), trovo che riesco ad esprimere \(a\) come
\[
a = \sqrt{t^2(1+\dot{y}^2)}
\]
da cui, imponendo che la distanza \(a\) sia costante
\[
\dot{a}(t) = \frac{1+\dot{y}^2+ t\dot{y}\ddot{y}}{\sqrt{1 + \dot{y}^2}} = 0
\]
cioè
\[
1+\dot{y}^2+ t\dot{y}\ddot{y} = 0
\]
quindi
\[
\ddot{y} = -\frac{1+\dot{y}^2}{t\dot{y}}
\]
che è un'ODE del primo ordine in \(\dot{y}\).
Prima provo a risolverla come ODE esatta, ma la forma differenziale \(\omega\) associata non è esatta, quindi devo ripiegare.
Provo ora a vederla come equazione di Bernoulli,
\[
\dot{x} = P(t)x + Q(y)x^\alpha
\]
Nel mio caso è \(x = \dot{y}\) e \(\alpha = -1\). Svolgo i conti ed applico la sostituzione standard per queste equazioni e, svolti i conti, applicata la condizione iniziale \(\dot{y}(0) = 0\), mi trovo infine con
\[
\dot{y} = \sqrt{\frac{a^2}{t^2} - 1}
\]
A questo punto penso che dovrei integrarla per ottenere la traiettoria, ma non riesco a svolgere questo integrale, e dopo tutto ciò che ho scritto comincio a sospettare che ci sia qualche errore!
Che ne dite?
Risposte
Innanzitutto, io scalerei via il parametro \(a\) supponendolo positivo e facendo la sostituzione \(s=t/a\).
Dato che:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} = \frac{\text{d} s}{\text{d} t}\ \frac{\text{d}}{\text{d} s} = \frac{1}{a}\ \frac{\text{d}}{\text{d} s}
\]
si ha:
\[
\dot{y} =\frac{1}{a}\ y^\prime
\]
(qui \(^\cdot\) denota derivazione rispetto a \(t\) e \(^\prime\) rispetto ad \(s\)), quindi la EDO diventa:
\[
y^\prime (s) = \frac{a}{s}\sqrt{1-s^2}
\]
(ho preso \(t,s\geq 0\) perché la condizione iniziale è assegnata per \(t=a>0\)) e la condizione iniziale si muta in \(y(1)=0\).
Si vede che è necessariamente \(0
\begin{split}
y(s)&=a \int_1^s \frac{1}{\sigma}\sqrt{1-\sigma^2}\ \text{d} \sigma
&=-a \int_s^1 \frac{1}{\sigma}\sqrt{1-\sigma^2}\ \text{d} \sigma \; .
\end{split}
\]
Dall'ultimo integrale, "a occhio", deve venir fuori qualche radice e qualche logaritmo; per calcolarlo, potresti provare la sostituzione \(\nu=\sqrt{1-\sigma^2}\), che dovrebbe razionalizzare l'integrale.
Dato che:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} t} = \frac{\text{d} s}{\text{d} t}\ \frac{\text{d}}{\text{d} s} = \frac{1}{a}\ \frac{\text{d}}{\text{d} s}
\]
si ha:
\[
\dot{y} =\frac{1}{a}\ y^\prime
\]
(qui \(^\cdot\) denota derivazione rispetto a \(t\) e \(^\prime\) rispetto ad \(s\)), quindi la EDO diventa:
\[
y^\prime (s) = \frac{a}{s}\sqrt{1-s^2}
\]
(ho preso \(t,s\geq 0\) perché la condizione iniziale è assegnata per \(t=a>0\)) e la condizione iniziale si muta in \(y(1)=0\).
Si vede che è necessariamente \(0
\begin{split}
y(s)&=a \int_1^s \frac{1}{\sigma}\sqrt{1-\sigma^2}\ \text{d} \sigma
&=-a \int_s^1 \frac{1}{\sigma}\sqrt{1-\sigma^2}\ \text{d} \sigma \; .
\end{split}
\]
Dall'ultimo integrale, "a occhio", deve venir fuori qualche radice e qualche logaritmo; per calcolarlo, potresti provare la sostituzione \(\nu=\sqrt{1-\sigma^2}\), che dovrebbe razionalizzare l'integrale.
Ciao!
Alla modellizzazione ho dato un'occhiata non attentissima,
ma non ho trovato nulla che non mi sia tornato;
visto che a foglio bianco mi sà che pure io avrei proseguito come te,
prendo allora per abbastanza probabile che vada bene e mi rifaccio al tuo integrale:
a quello di Gugo,anzi,
che ha preferito effettuare le dovute sostituzioni e considerazioni sull'integrale direttamente sull'equaz. differenziale,
trasformandola in una equivalente alla tua/nostra ma più "potabile" ..
A questo punto ti dico subito che,davanti ad una funzione integranda del tipo $f(sigma,sqrt(asigma^2+bsigma+c))$ con a<0,
i miei insegnanti d'Analisi c'invitavano intanto ad osservare che per restare in $RR$ il radicando deve necessariamente avere $Delta>0$;
dette allora $alpha>beta$ le sue radici,
ci consigliavano di porre $z(alpha-sigma)=sqrt(-a(alpha-sigma)(sigma-beta))$ e di quadrare questa posizione al fine d'ottenere $sigma$ in funzione di z:
infine c'auguravano buon lavoro davanti alla razionale fratta che ne sarebbe saltata fuori..
Saluti dal web.
Alla modellizzazione ho dato un'occhiata non attentissima,
ma non ho trovato nulla che non mi sia tornato;
visto che a foglio bianco mi sà che pure io avrei proseguito come te,
prendo allora per abbastanza probabile che vada bene e mi rifaccio al tuo integrale:
a quello di Gugo,anzi,
che ha preferito effettuare le dovute sostituzioni e considerazioni sull'integrale direttamente sull'equaz. differenziale,
trasformandola in una equivalente alla tua/nostra ma più "potabile" ..
A questo punto ti dico subito che,davanti ad una funzione integranda del tipo $f(sigma,sqrt(asigma^2+bsigma+c))$ con a<0,
i miei insegnanti d'Analisi c'invitavano intanto ad osservare che per restare in $RR$ il radicando deve necessariamente avere $Delta>0$;
dette allora $alpha>beta$ le sue radici,
ci consigliavano di porre $z(alpha-sigma)=sqrt(-a(alpha-sigma)(sigma-beta))$ e di quadrare questa posizione al fine d'ottenere $sigma$ in funzione di z:
infine c'auguravano buon lavoro davanti alla razionale fratta che ne sarebbe saltata fuori..
Saluti dal web.
Vi ringrazio entrambi per le risposte.
Ho trovato un modo per risolvere l'integrale dopo la sostituzione di gugo, ma è troppo lungo e mi basta il fatto di saperlo risolvere, anche senza svolgere effettivamente i calcoli
Infatti dopo aver fatto quella sostituzione spezzo la somma che ottengo e poi sostituisco \(\nu = \sinh u\) che poi diventa, sostituendo a \(\cosh u\) la definizione tramite esponenziale, la derivata di un'arcotangente.. E fu così che il Raptorista annegò nei conti
La cosa che però mi rallegra di più in tutto ciò è che di tutto ciò che avevo fatto non avevo sbagliato nulla
Ho trovato un modo per risolvere l'integrale dopo la sostituzione di gugo, ma è troppo lungo e mi basta il fatto di saperlo risolvere, anche senza svolgere effettivamente i calcoli
Infatti dopo aver fatto quella sostituzione spezzo la somma che ottengo e poi sostituisco \(\nu = \sinh u\) che poi diventa, sostituendo a \(\cosh u\) la definizione tramite esponenziale, la derivata di un'arcotangente.. E fu così che il Raptorista annegò nei conti
La cosa che però mi rallegra di più in tutto ciò è che di tutto ciò che avevo fatto non avevo sbagliato nulla
@Raptorista: La curva descritta dovrebbe essere la cosiddetta trattrice di Huygens.
Nel caso, dovresti trovarti un \(-\) nella EDO del primo ordine.
Nel caso, dovresti trovarti un \(-\) nella EDO del primo ordine.
@gugo: grazie della dritta, sembra proprio quella!
Da Wiki [fonte poco affidabile] ho visto l'ODE con il segno meno, come dici tu, però in quel caso il grafico è simmetrico del mio rispetto alla bisettrice 1-3. Non potrebbe essere per quello che io ho il segno opposto? I conti li ho riguardati ma non ho trovato errori.
Da Wiki [fonte poco affidabile] ho visto l'ODE con il segno meno, come dici tu, però in quel caso il grafico è simmetrico del mio rispetto alla bisettrice 1-3. Non potrebbe essere per quello che io ho il segno opposto? I conti li ho riguardati ma non ho trovato errori.
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