[ODE] Sistema (banale?) di equazioni differenziali lineari
Salve a tutti,
Ho un dubbio su un (presumo) banale sistema di equazioni differenziali ordinarie; trovato su un tema d'esame di Automatica. Il sistema modella un sistema automatico SISO lineare, ed è definito come:
$\{(dot x_1 = -x_1),(dot x_2 = x_1 -10x_2 +10u),(y = x_1 + x_2):}$
La traccia è: "Trovare le condizioni iniziali $x(0) = [[x_(1,0)],[x_(2,0)]]$ tali che il movimento libero dell’uscita yl(t) ad esse x2,0
associato tende a zero in circa 0.5 unità di tempo."
Il mio dubbio riguarda la risoluzione della seconda equazione che dipende dalla prima. La traccia di soluzione fornita è:
$x_1(t) = e^-t x_(1,0)$
$x_2(t) = e^(-10t)x_(2,0) + \int_0^t e^(-10(t-\tau))e^-\tau x_(1,0) d\tau = e^(-10t)x_(2,0) + 1/9(e^-t - e^(-10t))x_(1,0)$
Ciò che non capisco è come si arrivi alla soluzione di $x_2(t)$; in quanto, applicando la formula di Lagrange direttamente, mi manca all'appello un altro integrale: $\int_0^t e^(-10(t-\tau))10d\tau$
Sbaglio io qualcosa? Purtroppo sulle ODE sono arrugginito e il programma di Automatica che sto seguendo le copre in piccolissima parte.
Ho un dubbio su un (presumo) banale sistema di equazioni differenziali ordinarie; trovato su un tema d'esame di Automatica. Il sistema modella un sistema automatico SISO lineare, ed è definito come:
$\{(dot x_1 = -x_1),(dot x_2 = x_1 -10x_2 +10u),(y = x_1 + x_2):}$
La traccia è: "Trovare le condizioni iniziali $x(0) = [[x_(1,0)],[x_(2,0)]]$ tali che il movimento libero dell’uscita yl(t) ad esse x2,0
associato tende a zero in circa 0.5 unità di tempo."
Il mio dubbio riguarda la risoluzione della seconda equazione che dipende dalla prima. La traccia di soluzione fornita è:
$x_1(t) = e^-t x_(1,0)$
$x_2(t) = e^(-10t)x_(2,0) + \int_0^t e^(-10(t-\tau))e^-\tau x_(1,0) d\tau = e^(-10t)x_(2,0) + 1/9(e^-t - e^(-10t))x_(1,0)$
Ciò che non capisco è come si arrivi alla soluzione di $x_2(t)$; in quanto, applicando la formula di Lagrange direttamente, mi manca all'appello un altro integrale: $\int_0^t e^(-10(t-\tau))10d\tau$
Sbaglio io qualcosa? Purtroppo sulle ODE sono arrugginito e il programma di Automatica che sto seguendo le copre in piccolissima parte.
Risposte
Risolvi la prima equazione e nella seconda sostituisci al posto di \(x_1\) la soluzione trovata.
La seconda equazione diventa un'equazione lineare in \(x_2\) (anche se non so chi sia \(u\)...).
La seconda equazione diventa un'equazione lineare in \(x_2\) (anche se non so chi sia \(u\)...).
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