ODE di ordine n

[nella19877891]

Buongiorno, sono una new entry ho bisogno di chiarirmi un dubbio... spero questa sia la sezione giusta del forum!
in presenza di un equazione differenziale ordinaria di ordine n si sa che questa può essere ricondotta ad un sistema di n equazioni del primo ordine:
F(d^ny/dx^n, ......, dy/dx, y(x), x)=0 ============> { dy1/dx=f1(.....), dy2/dx=f2(.....), dyn/dx=fn(.....)}

Mi chiedo e vi chiedo : le varie funzionalità f1,f2,....,fn da cosa dipendono precisamente? oltre che dalla x ovviamente... io ho un' idea ma vorrei prima sentire la vostra! grazieee

[gugo82]

Sinceramente, mi pare scritta in maniera troppo forzata.

Se \(n\geq 2\), la singola ODE d'ordine \(n\) in forma implicita:
\[
F(x,y(x),y^\prime (x),y^{\prime \prime} (x),\ldots , y^{(n-1)} (x),y^{(n)}(x))=0
\]
(ove \(F:I\times \mathbb{R}^{n+1}\to \mathbb{R}\), con \(I\subseteq \mathbb{R}\) intervallo) può essere ricondotta ad un sistema di \(n\) ODE in forma implicita del tipo:
\[
\tag{S}
\begin{cases}
y_0^\prime (x) = y_1 (x)\\
y_1^{\prime} (x) = y_2 (x)\\
\ldots \\
y_{n-2}^{\prime} (x) = y_{n-1}(x)\\
F(x,y_0(x),y_1(x),y_2(x),\ldots, y_{n-1} (x),y_{n-1}^\prime (x))=0\; .
\end{cases}
\]
Quindi il secondo membro \(f_k(x,y_0,\ldots, y_n)\) della \(k\)-esima ODE di (S) dipende unicamente dall'incognita ausiliaria \(y_k\) e, precisamente, si ha sempre \(f_k(x,y_0,\ldots, y_n)=y_k\) per \(k=1,\ldots ,n-1\).

[nella19877891]

thanks!

[scaramuzzino]

Ciao,

in realtà non sono di risposta al quesito ma ne dovrei porre un altro io e non sapevo come fare. Magari poi il moderatore mi darà delucidazioni.

Comunque vorrei sapere se qualcuno sa ricondurre quest'equazione ad un'equazione notevole.

\displaystyle \( y' - a(x) y^ \left(1+\alpha\right)-y^\left(\alpha\right)=0 \)

Grazie ancora

Francesca