ODE
Ho tale ODE:
$y''+3y'=3e^(-3x)$
Ho come soluzioni dell'omogenea:
$y_1= c1 e y_2 = e^(-3x)c2 $
e come soluzione della particolare ho:
$y= -xe^(-3x)$ perchè wolfram mi dice che sbaglio? io sono sicuro di non aver sbagliato! ma wolfram aggiunge 1/3 alla soluzione$ y_2$
$y''+3y'=3e^(-3x)$
Ho come soluzioni dell'omogenea:
$y_1= c1 e y_2 = e^(-3x)c2 $
e come soluzione della particolare ho:
$y= -xe^(-3x)$ perchè wolfram mi dice che sbaglio? io sono sicuro di non aver sbagliato! ma wolfram aggiunge 1/3 alla soluzione$ y_2$
Risposte
wolfram ha scelto semplicemente un'altra soluzione particolare dell'omogenea(si ignorano i motivi del gesto) : tanto viene tutto assorbito da $c_2$
Ho da sottoporvi la seguente ODE lineare non omogenea di secondo grado: $y''-3y'+2y=(e^x)/((e^x)+1)$. Purtroppo non riesco a calcolarne l'integrale generale.
Ho risolto il polinomio caratteristico $L^2-3L+2$ trovandone gli zeri 1 e 2, determinando quindi l'integrale generale dell'omogenea associata, $C1e^x+C2e^(2x)$. Come posso trovare l'integrale generale della non omogenea considerando il termine forzante? So che devo studiare una determinata forma, ma non mi viene in mente il procedimento per giungervi. Grazie mille per ogni aiuto.
Ho risolto il polinomio caratteristico $L^2-3L+2$ trovandone gli zeri 1 e 2, determinando quindi l'integrale generale dell'omogenea associata, $C1e^x+C2e^(2x)$. Come posso trovare l'integrale generale della non omogenea considerando il termine forzante? So che devo studiare una determinata forma, ma non mi viene in mente il procedimento per giungervi. Grazie mille per ogni aiuto.
Anche senza aspettare l'aiuto sono giunto alla soluzione tramite il metodo delle variazioni costanti applicato alla forma $Ae^x+Be^(2x)$. Questa soluzione però è esattamente uguale a quella riportata da WolframAlpha tranne che per un $-e^x$ di troppo alla fine. Sarò incappato nello stesso problema dell'OP, con questo $e^x$ che è assorbito nel primo termine della soluzione?
Up
No. D'altronde, pensa tu stesso: può una variabile ($e^x$) essere assorbita da una costante?
Però ho un altro $e^x$ che moltiplica la prima costante e quindi se fattorizzo parzialmente viene $e^x (C1-1)$ e 1 può essere assorbito nella costante C1 no?
Se sbaglio io pazienza, vorrà dire che mi laureo fuori corso. L'impegno ce l'ho messo e ce ne ho messo anche troppo.
Se sbaglio io pazienza, vorrà dire che mi laureo fuori corso. L'impegno ce l'ho messo e ce ne ho messo anche troppo.
Ma certo, ma in tal caso, per essere rigorosi, definisci un'altra costante (es. $D_1$) come $D_(1)=C_(1)-1$. Questo lo puoi fare, non puoi assorbire direttamente un elemento variabile.
Ecco, così si ragiona.
Grazie mille per avermi chiarito il dubbio!
Grazie mille per avermi chiarito il dubbio!
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