ODE:

[ZeTaMaster]

Ed ecco l'ultimo dubbio della grande mole di esercizi fatti. Ho tale ODE:
$(y^2+2xy+x^2)y'=2y^2$ , mi serve solo un input su come iniziare , non credo sia possibile separare le variabili. Come procedo?

[Luca.Lussardi]

osserva che $y^2+2xy+x^2=(y+x)^2$, prova a mettere $u=y+x$... mi pare che venga Bernoulli o Riccati o chi per lei...

[gugo82]

Oppure, nota che nei punti in cui la EDO non degenera (i.e., nei punti del piano tali che \((y+x)^2\neq 0\)) essa si riscrive:
\[
y^\prime (x) = \left( \frac{\sqrt{2}\ y(x)}{x+y(x)}\right)^2
\]
che è a secondo membro omogeneo di grado \(0\); pertanto la sostituzione:
\[
y(x) =x\ u(x)
\]
ti riconduce a variabili separabili.

[ZeTaMaster]

Luca ottengo:
$u^2y'=(u-x)^2$ ?
Gugo82 ma poi la x scompare quando ponto $y(x)=xu(x)$

[gugo82]

"ZeTaMaster":Gugo82 ma poi la x scompare quando ponto $y(x)=xu(x)$

Hai provato a fare i conti? Che ne viene fuori?

[vict85]

@ZetaMaster: ricorda che devi anche sostituire la derivata. Che diventa \(y'(x) = u(x) + xu'(x)\)

[Luca.Lussardi]

Il metodo proposto da gugo è migliore, penso che arrivi più velocemente alla soluzione, anche seguendo la mia indicazione non hai sostituito la derivata, verrebbe $u^2(u'-1)=(u-x)^2$, in quanto se $y+x=u$ allora $y'+1=u'$.