ODE:

[ZeTaMaster]

Mi servirebbe solo un input su come scomporre la seguente ODE per poter trovare la soluzione, vedo che è non lineare del primo ordine :
$y'+(1+y^3)/((xy^2)(1+x^2))=0$

[Frink1]

Direi proprio che puoi ricondurti ad una ODE a variabili separabili, prova a guardarla così:

$ y'=-(1+y^3)/(xy^2(1+x^2)) $

[Danielecker]

Non c'è bisogno di scomporla, basta che separi le variabili. La puoi anche vedere così:

$ (1+y^3)/(y^2) 1/(x(1+x^2))$

A questo punto puoi facilmente separare le variabili e integrare

[ZeTaMaster]

Ottimo! quindi mi basta integrare cosi:
$-int y^2/(1+y^3) dy= int 1/(x(1+x^2)) dx$

[Danielecker]

Giusto

[ZeTaMaster]

Una curiosità quando trovo una soluzione del tipo:
$ln(y-2)=x^2/2+ c$ e poi devo applicare tipo una condizione iniziale del tipo: $y(0)=0$ , la soluzione la devo scrivere nella forma $y=exp $? o posso rimanerla cosi? e se devo scriverla come $y=exp $, nel mio caso dovrei avere $y=e^(x^2/2) +e^(c) +2$ giusto?

[Frink1]

In alcuni casi in cui non è possibile o è molto scomodo scriverla nella forma esplicita puoi anche lasciarla implicita, basta sostituire! Nel tuo caso comunque dovrebbe essere giusta

Ad esempio nel tuo caso: sostituendo ottieni subito $c=log(-2)$, e poi se vuoi la puoi scrivere in forma esplicita!

[Danielecker]

Nulla ti vieta di applicare la condizione iniziale senza esplicitare la y

[ZeTaMaster]

Perfetto, ma allora non esiste il $log(-2) $quindi come procedo con la soluzione?

[ZeTaMaster]

Permetto, ma allora non esiste il $log(-2) $quindi come procedo con la soluzione?

[ZeTaMaster]

Perfetto, ma allora non esiste il $log(-2) $quindi come procedo con la soluzione?

[ZeTaMaster]

Perfetto, ma allora non esiste il $log(-2) $quindi come procedo con la soluzione?

[Danielecker]

Ricordati che l'argomento del logaritmo deve essere in valore assoluto

[ZeTaMaster]

Quindi $ln(2)$ ... grazie mille ! La soluzione sarebbe$y=e^(x^2/2)+e^(c)+2$ quindi$ y= e^(x^2/2) +4$ !!!