O piccolo nello sviluppo di Taylor
Ciao a tutti,
nel calcolare i limiti mi sono imbattuto nell'uso dello sviluppo di funzioni con le serie di taylor.
Il concetto c'è e l'ho capito come si "usa", solo che accanto a quelle serie c'è un'odioso che non riesco a digerire proprio.
Innanzitutto, quando inizio la sostituzione, quanti termini devo prendere? due tre cento? boh...
E poi gli o piccoli come si mettono? o(x^4) se prendo fino al quarto termine?
E infine, perchè "scompaiono" quasi per magia?
Aiutoooo!
nel calcolare i limiti mi sono imbattuto nell'uso dello sviluppo di funzioni con le serie di taylor.
Il concetto c'è e l'ho capito come si "usa", solo che accanto a quelle serie c'è un'odioso
Innanzitutto, quando inizio la sostituzione, quanti termini devo prendere? due tre cento? boh...
E poi gli o piccoli come si mettono? o(x^4) se prendo fino al quarto termine?
E infine, perchè "scompaiono" quasi per magia?
Aiutoooo!
Risposte
Non c'è un numero fisso di numeri da prendere, si va un po' a occhio...
Detto informalmente, $o(f(x))$ denota qualcosa che tende a zero più velocemente di $f(x)$ per $x \to 0$. Quindi, nel caso particolare di polinomi, $o(x^n)$ comprende tutti i termini $x^{\alpha}$ con $\alpha > n$.
Così, se tu ad esempio devi calcolare
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x^3 + x^4 + x^5}{x^2}$
potresti scrivere il tutto come
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 + \frac{o(x^2)}{x^2}$
e il limite fa $1$, proprio perché $\frac{o(x^2)}{x^2}$ tende a zero per $x \to 0$.
L'esempio fatto è un po' scemo, prova a postare qualche esercizio in cui hai trovato qualche difficoltà...
Detto informalmente, $o(f(x))$ denota qualcosa che tende a zero più velocemente di $f(x)$ per $x \to 0$. Quindi, nel caso particolare di polinomi, $o(x^n)$ comprende tutti i termini $x^{\alpha}$ con $\alpha > n$.
Così, se tu ad esempio devi calcolare
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x^3 + x^4 + x^5}{x^2}$
potresti scrivere il tutto come
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + o(x^2)}{x^2} = \lim_{x \to 0} 1 + \frac{o(x^2)}{x^2}$
e il limite fa $1$, proprio perché $\frac{o(x^2)}{x^2}$ tende a zero per $x \to 0$.
L'esempio fatto è un po' scemo, prova a postare qualche esercizio in cui hai trovato qualche difficoltà...
Il fatto è che un po' ovunque dove ci sono gli o piccoli incontro le difficoltà dovute al fatto che l'o piccolo è molto...evanescente. Compare, scompare, in potenze, si sommano, si eliminano, = diventa ~... tutto senza (secondo me) un preciso filo logico. O meglio, c'è, ma non sempre è rispettato :p
Tutto questo ovviamente lo trovo seguendo le risoluzioni dei compiti del mio prof, P. Aiena di Palermo.
Appena trovo un esercizio lo posto, intanto grazie!!
A presto,
Fabio
Tutto questo ovviamente lo trovo seguendo le risoluzioni dei compiti del mio prof, P. Aiena di Palermo.
Appena trovo un esercizio lo posto, intanto grazie!!
A presto,
Fabio
Invece è semplice comodo e perfettamente logico.
1) una costante moltiplicativa è ininfluente
2) una funzione moltiplicata per l'o piccolo finisce dentro
3) la somma di o piccoli di "grado" diverso è un o piccolo del grado massimo
4) Le potenze finisono dentro, ecc....
1) una costante moltiplicativa è ininfluente
2) una funzione moltiplicata per l'o piccolo finisce dentro
3) la somma di o piccoli di "grado" diverso è un o piccolo del grado massimo
4) Le potenze finisono dentro, ecc....
"Maxos":
3) la somma di o piccoli di "grado" diverso è un o piccolo del grado massimo
Non dovrebbe essere di grado minimo? Ad esempio, $o(x) + o(x^2) = o(x)$, o sbaglio?
Concordo con Tipper.
Sì certo, io inconsciamente pensavo non al grado del polinomio ma al rango degli infinitesimi.
Naturalmente avete ragione.
Naturalmente avete ragione.
ok, guardando delle videolezioni ho capito qualcosina..
Non ho capito invece una cosa, quando sostituisco alle funzioni il loro sviluppo di taylor, a che grado del polinomio
arrivo?
E poi, nelle espressioni del polinomio c'è qualcosa del genere
$sen (X)= x - x^3/3! + x^5/5! - ... + (-1)^n* x^(2n+1)/(2n+1)! + o(x^(2n+2))$
Se mi fermo al terzo termine, cioè x^5, la n dell'o piccolo è 3 o 5?
Non ho capito invece una cosa, quando sostituisco alle funzioni il loro sviluppo di taylor, a che grado del polinomio
arrivo?E poi, nelle espressioni del polinomio c'è qualcosa del genere
$sen (X)= x - x^3/3! + x^5/5! - ... + (-1)^n* x^(2n+1)/(2n+1)! + o(x^(2n+2))$
Se mi fermo al terzo termine, cioè x^5, la n dell'o piccolo è 3 o 5?
Se ti fermi a $x^5$ significa che ti arresti al termine con $n=2$ perciò si ha $n=2$, ovvero
$o(x^(2n+2))=o(x^6)$
$o(x^(2n+2))=o(x^6)$
La tua domanda è generica, devi solo esercitarti per capire non bastano due esempi... prova a rivedere gli appunti e la videolezione, capirai che è facile e utile l'uso degli o piccolo nel calcolo dei limiti
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