O-piccolo di una somma di funzioni

[CosenTheta]

Ho trovato questa uguaglianza

\(\displaystyle o(x^2 - \frac{x^4}{2} + o(x^3)) = o(x^2) \) per $x->0$

tuttavia mi chiedo, se ad esempio \(\displaystyle x^2 = o(x) \), allora avremmo

\(\displaystyle o(o(x) - \frac{x^4}{2} + o(x^3)) = o(o(x)) = o(x)\) per $x->0$

quindi mi chiedo: com'è possibile che l'uguaglianza dipenda dalle sostituzioni che scelgo?

Addirittura, potrei sostituire anche $x^2$ con $o(1)$, avendo ancora un ulteriore eguaglianza.

Dov'è l'inghippo nel ragionamento?

[dissonance]

L’inghippo sta nel fatto che \(x^2=o(x)\) non è una vera uguaglianza, ma solo una notazione convenzionale. Se quella fosse davvero una identità si arriverebbe a ogni sorta di contraddizione. Tu ne hai scritta una, ma ce ne sono di ancora più spettacolari. Per esempio, siccome \(x^2=o(x)\) e anche \(x^3=o(x)\), potremmo concludere che \(x^2=x^3\), per la proprietà transitiva dell’uguaglianza.

[axpgn]

Per me gli o-piccoli e il resto della grande famiglia sono ancora poco comprensibili, però una cosa l'ho capita: che il segno di uguaglianza è solo una notazione ma decisamente fuorviante perché quella "corretta" è $x^2 in o(x)$ ovvero $o(x)$ è una famiglia di funzioni e $x^2$ è un suo elemento (nel caso in esempio)

Cordialmente, Alex

[CosenTheta]

Grazie ad entrambi.