O-piccolo

[donald_zeka]

Riporto la definizione di o-piccolo del mio testo:

Siano $f$ e $g$ due funzioni definito in un sottoinsieme $A$ di $RR$ e sia $x_0 in RR+(+oo,-oo)$ punto di accumulazione di $A$, si dice che $f$ è o-piccolo di $g$ per $x->x_0$ e si scrive $f=o(g)$ se esistono un intorno bucato $I_(x_0, delta)$ e una funzione $h(x)$ definita in $I_(x_0, delta) nn A$ tali che:

$i) f(x)=g(x)h(x)$; $x in I_(x_0, delta) nn A$

$ii) lim_(x->x_0) h(x)=0$

Non capisco la natura di questa $h(x)$, per esempio in $sin^2(x)=o(x)$ per $x->0$, qual è la $h(x)$ tale che $sin^2(x)=h(x)x$?

[axpgn]

Vedila così ... $f(x)/g(x)=h(x)$ e dato che $h(x)$ tende a zero ...

[Magma1]

"Vulplasir":Riporto la definizione di o-piccolo del mio testo:

Siano $f$ e $g$ due funzioni definito in un sottoinsieme $A$ di $RR$ e sia $x_0 in RR+(+oo,-oo)$ punto di accumulazione di $A$, si dice che $f$ è o-piccolo di $g$ per $x->x_0$ e si scrive $f=o(g)$ se esistono un intorno bucato $I_(x_0, delta)$ e una funzione $h(x)$ definita in $I_(x_0, delta) nn A$ tali che:

$i) f(x)=g(x)h(x)$; $x in I_(x_0, delta) nn A$

$ii) lim_(x->x_0) h(x)=0$

Non capisco la natura di questa $h(x)$, per esempio in $sin^2(x)=o(x)$ per $x->0$, qual è la $h(x)$ tale che $sin^2(x)=h(x)x$?

$h(x)$ la puoi vedere così $h(x)=f(x)/g(x)$ e quindi $lim_(x->x_0) h(x)=0$ è equivalente a $lim_(x->x_0) f(x)/g(x)=0$ cioè $f=o[g(x)]$.

Pertanto $ sin^2(x)=o(x) $ per $ x->0 $ cioè $lim_(x->0) (sin^2(x))/x=lim_(x->0) (sin(x)/x) sinx=0$

EDIT:

Pertanto se $sin^2(x)=o(x)$ per $x->0$ allora $h(x)$ la ricavi proprio dalla forma dall'uguaglianza che hai scritto, cioè $h(x)=sin^2(x)/x$

[donald_zeka]

Vedila così ... $f(x)/g(x)=h(x)$ e dato che $h(x)$ tende a zero ...

Questo è il passo successiva che fa il testo, supponendo però come restrizione che $g(x)!=0$ in un intorno di $x_0$ e quindi conclude che in queste condizioni è equivalente dire che $f=o(g)$ se e solo se $lim x->x_0 f(x)/g(x)=0$. Il punto è che non riesco a immaginarmi una condizione in cui tali ipotesi restrittive non siano verificate e quindi la definizione generale mi resta poco comprensibile. O faccio prima a cercarmi qualche definizione generale equivalente ma diversa di o-piccolo?

[Magma1]

"Vulplasir":
Questo è il passo successiva che fa il testo, supponendo però come restrizione che $g(x)!=0$ in un intorno di $x_0$ e quindi conclude che in queste condizioni è equivalente dire che $f=o(g)$ se e solo se $lim x->x_0 f(x)/g(x)=0$.

La supposizione è d'obbligo in quanto non puoi dividere per la funzione nulla.

A me il professore l'ha spigato così:

Siano f, g tali che sia lecito fare $lim_(x->lambda)f(x)/g(x)=0 rArr f=o[g]$, per $x->lambda$.

Quindi, per fare poter fare il limite delle due funzioni, si deve avere che $g(x) ne 0$.

[donald_zeka]

La supposizione è d'obbligo in quanto non puoi dividere per la funzione nulla.

E chi ha diviso niente? La divisione nella definizione che ho postato è un passo successive alle restrizioni, ma se le restrizioni non ci sono, non c'é la divisione e rimane quella definizione che ho postato. Il tuo professore è passato, com'è giusto che sia, subito al caso con restrizione, ma ciò nonostante in base a quella definizione $f$ e $g$ sono confrontabili anche se la divisione non ha senso, proprio perché nella definizione non compare la divisione.

[axpgn]

Premesso che io partirei da quello che il tuo libro chiama "il passo successivo" e poi definirei l'o-piccolo in funzione di quello, la definizione che citi è apparentemente più generale e l'altra una sua restrizione; però ... se in quella più generale $g(x)=0$ allora anche $f(x)=0$ e quindi non mi serve granché averne una più generale ... right?

Cordialmente, Alex

[Magma1]

Ma se la divisione non ha senso non significa che $g(x)=0$ e quindi $f(x)=0$?

[donald_zeka]

Mmh, forse credo di aver capito

se in quella più generale g(x)=0 allora anche f(x)=0 e quindi non mi serve granché averne una più generale ... right?

Ma se la divisione non ha senso non significa che g(x)=0 e quindi f(x)=0?

Non è detto che il fatto che $g(x)$ non sia diversa da $0$ in un intorno di $x_0$ implichi $g(x)=0$, infatti basta considerare $g(x)=sinx$, che in un intorno di $+oo$ si annulla infinite volte ma non è identicamente nulla, pertanto, in base alla definizione ristretta, non avrebbe senso dire che $sinx/x=o(sinx)$ per $x$ che tende $+oo$, ma ha senso in base alla generale dato che esiste $h(x)=1/x$ tale che $sinx/x=sinx*1/x$ con $lim_( x->+oo) 1/x=0$.

[Magma1]

"Vulplasir":
Non è detto che il fatto che $g(x)$ non sia diversa da $0$ in un intorno di $x_0$ implichi $g(x)=0$, infatti basta considerare $g(x)=sinx$, che in un intorno di $+oo$ si annulla infinite volte ma non è identicamente nulla, pertanto, in base alla definizione ristretta, non avrebbe senso dire che $sinx/x=o(sinx)$ per $x$ che tende $+oo$, ma ha senso in base alla generale dato che esiste $h(x)=1/x$ tale che $sinx/x=sinx*1/x$ con $lim_( x->+oo) 1/x=0$ Giusto?.

Ma infatti il simbolo di Landau è definito se vale il limite $lim_(x->x_o) sinx/x$, è chiaro che quando $sin(x)= 0 \text{ per qualche } x$, quel limite perde di significato.

"Vulplasir":Riporto la definizione di o-piccolo del mio testo:

[...] si dice che $ f $ è o-piccolo di $ g $ per $ x->x_0 $ e si scrive $ f=o(g) $ se esistono un intorno bucato $ I_(x_0, delta) $ e una funzione $ h(x) $ definita in $ I_(x_0, delta) nn A $ tali che:

$\text{i)} f(x)=g(x)h(x) $; $ x in I_(x_0, delta) nn A $

$\text{ii)} lim_(x->x_0) h(x)=0 $

l'intorno bucato $I_delta (x_o)-{x_o}$ è dovuto al fatto che dà senso al limite, assicurando che $lim_(x->x_0) h(x)=lim_(x->x_o)f(x)/g(x) $ esista e sia uguale a $0$.

[donald_zeka]

@Magma, sbagli perché continui a basarti sulla tua definizione ristretta di o-piccolo.

Ma infatti il simbolo di Landau è definito se vale il limite $lim_(x→x_0) sinx/x$, è chiaro che quando $sin(x)=0$ per qualche $x$, quel limite perde di significato.

Ripeto, la divisione NON compare nella mia definizione, quindi ciò che dici è falso.

l'intorno bucato Iδ(xo)−{xo} è dovuto al fatto che dà senso al limite, assicurando che limx→x0h(x)=limx→xof(x)g(x) esista e sia uguale a 0.

No, l'intorno è bucato perché, per definizione di limite, non ci interessa cosa succede in $x_0$ ma solo cosa succede in un suo intorno, ma affinché si possa operare la divisione che fai tu, è necessario che in un intorno bucato di $x_0$, $g(x)$ non si annulli mai, e se succede ciò, si può operare la divisione, ma se ciò non succede la tua definizione di limite non può fare nulla dato che la divisione non ha senso. Pertanto, sapendo che $f(x)=sinx$ si annulla infinite volte in un intorno di $+oo$, non ha senso fare la divisione $(sinx/x)/sinx$ e pertanto, ancora seconda la tua definizione si o-piccolo, non si può dire che $sinx/x=o(sinx)$ per $x->+oo$, ma si può dire in base alla mia, dato che esiste $h(x)=1/x$ che rispetta la definizione e tende a $0$ per x che tende a $+oo$, proprio secondo la definizione.

Altro esempio. Considera $f(x)=xsin(1/x)$ e $g(x)=sin(1/x)$, per $x->0$ $sin(1/x)$ si annulla infinite volte in qualsiasi intorno di $0$, pertanto non ha senso la divisione $xsin(1/x)$ per $sin(1/x)$ e quindi la tua definizione di o-piccolo non è efficace dato che non sono rispettate le condizioni e quindi non si può dire che $xsin(1/x)=o(sin(1/x))$, in base alla definizione generale però esiste $h(x)=x$ che rispetta la definizione e che tende a $0$ per $x$ che tende a $0$, pertanto si può in base alla definizione generale dire che $xsin(1/x)=o(sin(1/x))$

[Magma1]

"Vulplasir":
Non è detto che il fatto che $g(x)$ non sia diversa da $0$ in un intorno di $x_0$ implichi $g(x)=0$, infatti basta considerare $g(x)=sinx$, che in un intorno di $+oo$ si annulla infinite volte ma non è identicamente nulla, pertanto, in base alla definizione ristretta, non avrebbe senso dire che $sinx/x=o(sinx)$ per $x$ che tende $+oo$, ma ha senso in base alla generale dato che esiste $h(x)=1/x$ tale che $sinx/x=sinx*1/x$ con $lim_( x->+oo) 1/x=0$.

Provo a riscrivere le cose equivalentemente in base alla "definizione ristretta":
Sia $f(x)=sinx/x$, e sia $g(x)=sinx$ allora

$f(x)=o[g(x)]$ per $x->+oo$, cioè $sinx/x=o[sin(x)]$

$hArr lim_(x->+oo)f(x)/g(x)=lim_(x->+oo)(sinx/x)/sinx=0$, $AA x ne kpi, k in mathbb (Z)$

Ora considero l'ultimo limite:

$lim_(x->+oo)(sinx/x)/sinx=lim_(x->+oo)(sinx/x)*sinx$

applicando il teorema del confronto:

$AA x in (delta, +oo)$, si ha che

$0<=sinx<=1 hArr $

$0<=(sinx/x)*sinx<=sinx/x$

quindi dato che $sinx/x$ tende a $0$ per $x -> +oo$ si ha che $(sinx/x)*sinx$ tende a $0$.

[donald_zeka]

$lim x→+∞(sinx/x)/sinx=limx→+∞(sinx/x)⋅sinx$

$(sinx/x)/sinx!=(sinx/x)*sinx$

[Magma1]

"Vulplasir":

$lim x?+8(sinx/x)/sinx=limx?+8(sinx/x)·sinx$

$(sinx/x)/sinx!=(sinx/x)*sinx$

Opss... hai ragione, stavo scrivendo di corsa ché dovevo uscire, mea culpa... rimedio subito:

$ lim_(x->+oo)(sinx/x)/sinx=lim_(x->+oo)(sinx/x)*(1/sinx)=0 $ $ AA x ne kpi, k in mathbb (Z) $

Invece:

$f(x)=sinx/x$, $g(x)=sinx$

$ rArr f(x)=g(x)h(x) hArr sinx/x=sinx * h(x) hArr h(x)=(sinx/x)/sinx hArr h(x)=1/x$

Comunque sia per poter trovare $h(x)$, prima o poi, dovrai dividere per $g(x)=sinx$.
Stiamo dicendo entrambi la stessa cosa ma con punti di partenza differenti.

[donald_zeka]

Dividendo per $sinx$ hai ristretto il suo dominio, e pertanto il mio $sinx$ non è il tuo sinx per $x$ che tende a $+oo$, quello che tu hai dimostrato che $sinx/x=o(sinx)$ in $RR-{kpi}$ per $x$ che tende a $+oo$

Ma le funzioni da confrontare erano $sinx/x$ e $sinx$ in un intorno $RR$, il tuo $sinx$ non è definito in un intorno di $RR$ dato che in ogni intorno di $+oo$ cadono infiniti punti in cui $sinx$ si annulla. Se fosse che sinx è diversa da 0 in ogni intorno di +oo allora potresti dividere, ma dato che non lo è non lo puoi proprio fare dato che altereresti le condizioni iniziali del problema che ci si pone.

[donald_zeka]

Cioè, per dire, considera le funzioni (1-cosx) e $x$, e il punto x=0, sappiamo che in un intorno di 0 x non si annulla mai, consì come in un intorno di 0 $1-cosx$ non si annulla mai, pertanto, in base alla definizione generale abbiamo:

$1-cosx=xh(x)$ il cui dominio è un intorno di 0.

Sapendo però che non si annullano mai in questo intorno, è lecito fare la divisione:

(1-cosx)/x=h(x) e passando al limite otteniamo zero, sempre restando nello stesso dominio della definizione generale, che pertanto in questo caso equivale a quella ristretta.

Nel caso di $sinx/x=sinxh(x)$, abbiamo come dominio un intorno di +oo, ma in questo intorno sinx si annulla infinite volte, pertanto, operando la divisione, andremmo ad alterare le condizioni iniziali della definizione, che considera qualsiasi x appartenente all'intorno, mentre dividendo restringiamo tale dominio, quindi, abbiamo alterato il problema e il risultato, in questo caso, benché coincida con il risultato della definizione generale, è un altro risultato che ha un altro insieme di definizione.

[Magma1]

A me sembra una cosa più semplice di quanto la tu la voglia far apparire. Sarà che sono pigro di natura...

[donald_zeka]

Più che questione di facilità/difficoltà, è una questione di definizione , non l'ho inventata io questa definizione di o-piccolo, anzi, fosse per me ne farei anche a meno