O piccolo
Siano
$f(x)=x^2-sin^2(x)$
$g(x)=cos^2(x^2)-1$
Quali affermazioni sono vere?
$3f(x)+2g(x)=o(x^4) per x->0$
$f(x)+g(x)=o(x^4) per x->0$
$f(x)*2g(x)=x^8/6+o(x^8) per x->0$
Ho studiato oggi gli O piccolo e grande ma non riesco a capire bene come verificare queste affermazioni, qualcuno può spiegarmi come posso procedere?
Grazie
$f(x)=x^2-sin^2(x)$
$g(x)=cos^2(x^2)-1$
Quali affermazioni sono vere?
$3f(x)+2g(x)=o(x^4) per x->0$
$f(x)+g(x)=o(x^4) per x->0$
$f(x)*2g(x)=x^8/6+o(x^8) per x->0$
Ho studiato oggi gli O piccolo e grande ma non riesco a capire bene come verificare queste affermazioni, qualcuno può spiegarmi come posso procedere?
Grazie
Risposte
posta qualche tuo tentativo, giusto o sbagliato che sia..
la prima affermazione ti dice $3f(x)+2g(x)=o(x^4)$ per $x\to 0$
allora hai $3x^2-3\sin^2 (x)+2\cos^2 (x^1)-2$ devi vedere se è $o(x^4)$.. per $x\to 0$..
suggerimento prova ad applicare la definizione..
la prima affermazione ti dice $3f(x)+2g(x)=o(x^4)$ per $x\to 0$
allora hai $3x^2-3\sin^2 (x)+2\cos^2 (x^1)-2$ devi vedere se è $o(x^4)$.. per $x\to 0$..
suggerimento prova ad applicare la definizione..
Ormai ho dubbi anche sulla definizione, wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Stima_asintotica#O_piccolo dice per il limite che tende ad infinito, altri fonti per il limite che tende a 0... 
Prendendo per buona la definizione di wikipedia:
$\lim_{x \to \infty}(3x^2-3(sin(x))^2+2(cos(x^2))^2-2)/(x^4)=0/1=0$
Quindi l'affermazione sarebbe verificata, procedendo invece per l'altra definizione trovata:
$\lim_{x->0}(3x^2-3(sin(x))^2+2(cos(x^2))^2-2)/(x^4)=(3x^2-3x^2+2(cos(x^2))^2-2)/(x^4)= ???$
ma non so più andare avanti.. so che:
$1-cos(x)$ è approssimabile con $1/2*x^2$ ma procedendo in questo senso troverei:
$\lim_{x->0}(3x^2-3x^2-x^2)/(x^4)=0$
visto che $x^4$ cresce più velocemente verso zero
Procedendo così però anche la seconda affermazione diverrebbe vera mentre so per certo che è falsa...
Prendendo per buona la definizione di wikipedia:
$\lim_{x \to \infty}(3x^2-3(sin(x))^2+2(cos(x^2))^2-2)/(x^4)=0/1=0$
Quindi l'affermazione sarebbe verificata, procedendo invece per l'altra definizione trovata:
$\lim_{x->0}(3x^2-3(sin(x))^2+2(cos(x^2))^2-2)/(x^4)=(3x^2-3x^2+2(cos(x^2))^2-2)/(x^4)= ???$
ma non so più andare avanti.. so che:
$1-cos(x)$ è approssimabile con $1/2*x^2$ ma procedendo in questo senso troverei:
$\lim_{x->0}(3x^2-3x^2-x^2)/(x^4)=0$
visto che $x^4$ cresce più velocemente verso zero
Procedendo così però anche la seconda affermazione diverrebbe vera mentre so per certo che è falsa...
La definizione cui devi riferirti è la seguente:
Definizione: sia \( I \subset \mathbb{R} \) e \( x_0 \) un punto di accumulazione per \( I \); siano \( f \) e \( g \) due funzioni definite in \( I \), con \( g(x) \neq 0 \). Diciamo allora che \( f \) è un "o-piccolo" di \( g \) in \( x_0 \), e scriviamo \( f(x) = o_{x_0}(g(x)) \), se accade che il
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0.
\]
Allora, ad esempio, per risolvere la tua prima richiesta dovrai dimostrare oppure confutare il fatto che
\[
\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 3 \sin^2(x) + 2 \cos^2(x^2) - 2}{x^4} = 0.
\]
E' più chiaro?
Definizione: sia \( I \subset \mathbb{R} \) e \( x_0 \) un punto di accumulazione per \( I \); siano \( f \) e \( g \) due funzioni definite in \( I \), con \( g(x) \neq 0 \). Diciamo allora che \( f \) è un "o-piccolo" di \( g \) in \( x_0 \), e scriviamo \( f(x) = o_{x_0}(g(x)) \), se accade che il
\[
\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0.
\]
Allora, ad esempio, per risolvere la tua prima richiesta dovrai dimostrare oppure confutare il fatto che
\[
\lim_{x \to 0} \frac{3x^2 - 3 \sin^2(x) + 2 \cos^2(x^2) - 2}{x^4} = 0.
\]
E' più chiaro?
Ok, ti ringrazio
Sai se lo svolgimento che ho fatto nel post precedente per tale limite è corretto?
Sai se lo svolgimento che ho fatto nel post precedente per tale limite è corretto?
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