O-piccoli per esercizi sul teorema di Dini
Salve,
ho alcuni problemi sugli esercizi relativi al teorema di Dini: dopo aver verificato le condizioni(ipotesi) del teorema di dini e verificato per quali variabili posso esplicitare una ( o due) in funzioni delle restanti mi trovo a dover scrivere lo sviluppo di taylor della funzione fino all'ordine richiesto. Di conseguenza "taglio" al primo ordine lo sviluppo e da qui dovrei cercar di capire come "inglobare" ( attraverso equazioni e maggiorazioni) degli o-piccoli rispetto a degli altri per trovarmi l'esplicitazione finale al primo ordine; di nuovo dovrei passare all'ordine successivo e crearmi gli stessi problemi di o-piccoli.A questo punto la mia domanda è: come posso ragionare sugli o-piccoli??, cioè quali operazioni posso eseguire tra e su gli o-piccoli??c'è un metodo meccanico o dipende tutto dalla "strada migliore da trovare"?? spero di essere stato abbastanza chiaro!!
GRAZIE
ho alcuni problemi sugli esercizi relativi al teorema di Dini: dopo aver verificato le condizioni(ipotesi) del teorema di dini e verificato per quali variabili posso esplicitare una ( o due) in funzioni delle restanti mi trovo a dover scrivere lo sviluppo di taylor della funzione fino all'ordine richiesto. Di conseguenza "taglio" al primo ordine lo sviluppo e da qui dovrei cercar di capire come "inglobare" ( attraverso equazioni e maggiorazioni) degli o-piccoli rispetto a degli altri per trovarmi l'esplicitazione finale al primo ordine; di nuovo dovrei passare all'ordine successivo e crearmi gli stessi problemi di o-piccoli.A questo punto la mia domanda è: come posso ragionare sugli o-piccoli??, cioè quali operazioni posso eseguire tra e su gli o-piccoli??c'è un metodo meccanico o dipende tutto dalla "strada migliore da trovare"?? spero di essere stato abbastanza chiaro!!
GRAZIE
Risposte
Esempio, please.
Sia dato il sistema
\[
\begin{cases}
\sin (xy) + \cos z + \tan (x − z) = 1\\
\log (1 + y + z) + \arctan (xy) = 0.
\end{cases}
\]
• Dimostrare che in un intorno di \((0, 0, 0)\) si possono esplicitare due coordinate in funzione della terza, in particolare:
\[
x = x (z) \qquad \text{ed}\qquad y = y (z)
\]
• Trovare tale parametrizzazione con un errore \(\text{o}(z)\).
• Trovare tale parametrizzazione con un errore \(\text{o}(z^2)\).
Scusa ma ancora devo capire bene il Latex
\[
\begin{cases}
\sin (xy) + \cos z + \tan (x − z) = 1\\
\log (1 + y + z) + \arctan (xy) = 0.
\end{cases}
\]
• Dimostrare che in un intorno di \((0, 0, 0)\) si possono esplicitare due coordinate in funzione della terza, in particolare:
\[
x = x (z) \qquad \text{ed}\qquad y = y (z)
\]
• Trovare tale parametrizzazione con un errore \(\text{o}(z)\).
• Trovare tale parametrizzazione con un errore \(\text{o}(z^2)\).
Scusa ma ancora devo capire bene il Latex
Vabbé il primo è facile.
Innanzitutto \((0,0,0)\) è soluzione del sistema.
La funzione vettoriale che individua il sistema è di classe \(C^\infty\) intorno al punto \((0,0,0)\), quindi si può applicare il teorema del Dini.
Lo jacobiano è:
\[
\begin{vmatrix}
y\cos xy + \frac{1}{\cos^2 (x-z)} & x\cos xy\\
\frac{y}{1+x^2y^2} & \frac{1}{1+y+z} + \frac{x}{1+x^2y^2}
\end{vmatrix}_{(x,y)=(0,0)} =
\begin{vmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{vmatrix} =1>0
\]
quindi il teorema assicura che esiste un intorno di \(0\) in cui il sistema definisce \(x,\ y\) come funzioni di \(z\).
Per quanto riguarda il secondo punto, tieni presente che stai cercando di determinare lo sviluppo di Taylor-MacLaurin al primo ordine di \(x(z),\ y(z)\). Quindi ti basta determinare le derivate \(x^\prime (0)\) ed \(y^\prime (0)\) (dato che già sai che \(x(0)=0=y(0)\)).
Riscrivendo il sistema come:
\[
\begin{cases}
f(x,y,z) = 0\\
g(x,y,z) = 0
\end{cases}
\]
sostituendo \(x=x(z),\ y=y(z)\) e derivando rispetto a \(z\) le equazioni trovi che:
\[
\begin{split}
&\begin{cases}
f_x(x(z),y(z),z)\ x^\prime (z) +f_y(x(z),y(z),z)\ y^\prime (z) +f_z(x(z),y(z),z) = 0\\
g_x (x(z),y(z),z)\ x^\prime (z) +g_y (x(z),y(z),z)\ y^\prime (z) +g_z(x(z),y(z),z) = 0
\end{cases} \\
&\Rightarrow \qquad \begin{cases}
f_x(0,0,0)\ x^\prime (0) +f_y(0,0,0)\ y^\prime (0) = -f_z(0,0,0)\\
g_x (0,0,0)\ x^\prime (0) +g_y (0,0,0)\ y^\prime (0) = -g_z(0,0,0)
\end{cases}
\end{split}
\]
e l'ultimo sistema, nel tuo caso, si riduce a:
\[
\begin{cases}
x^\prime (0) = -f_z (0,0,0)\\
y^\prime (0) = -g_z (0,0,0)
\end{cases}
\]
che è già risolto.
Per ottenere un'approssimazione almeno al secondo ordine, invece, ti basta determinare \(x^{\prime \prime} (0),\ y^{\prime \prime }(0)\): ciò si fa derivando due volte rispetto a \(z\) il sistema dopo aver sostituito \(x=x(z)\) ed \(y=y(z)\) e tenendo presente che \(x(0)=0=y(0)\), \(x^\prime (0)=-f_z(0,0,0)\) e \(y^\prime (0)=-g_z (0,0,0)\).
Innanzitutto \((0,0,0)\) è soluzione del sistema.
La funzione vettoriale che individua il sistema è di classe \(C^\infty\) intorno al punto \((0,0,0)\), quindi si può applicare il teorema del Dini.
Lo jacobiano è:
\[
\begin{vmatrix}
y\cos xy + \frac{1}{\cos^2 (x-z)} & x\cos xy\\
\frac{y}{1+x^2y^2} & \frac{1}{1+y+z} + \frac{x}{1+x^2y^2}
\end{vmatrix}_{(x,y)=(0,0)} =
\begin{vmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{vmatrix} =1>0
\]
quindi il teorema assicura che esiste un intorno di \(0\) in cui il sistema definisce \(x,\ y\) come funzioni di \(z\).
Per quanto riguarda il secondo punto, tieni presente che stai cercando di determinare lo sviluppo di Taylor-MacLaurin al primo ordine di \(x(z),\ y(z)\). Quindi ti basta determinare le derivate \(x^\prime (0)\) ed \(y^\prime (0)\) (dato che già sai che \(x(0)=0=y(0)\)).
Riscrivendo il sistema come:
\[
\begin{cases}
f(x,y,z) = 0\\
g(x,y,z) = 0
\end{cases}
\]
sostituendo \(x=x(z),\ y=y(z)\) e derivando rispetto a \(z\) le equazioni trovi che:
\[
\begin{split}
&\begin{cases}
f_x(x(z),y(z),z)\ x^\prime (z) +f_y(x(z),y(z),z)\ y^\prime (z) +f_z(x(z),y(z),z) = 0\\
g_x (x(z),y(z),z)\ x^\prime (z) +g_y (x(z),y(z),z)\ y^\prime (z) +g_z(x(z),y(z),z) = 0
\end{cases} \\
&\Rightarrow \qquad \begin{cases}
f_x(0,0,0)\ x^\prime (0) +f_y(0,0,0)\ y^\prime (0) = -f_z(0,0,0)\\
g_x (0,0,0)\ x^\prime (0) +g_y (0,0,0)\ y^\prime (0) = -g_z(0,0,0)
\end{cases}
\end{split}
\]
e l'ultimo sistema, nel tuo caso, si riduce a:
\[
\begin{cases}
x^\prime (0) = -f_z (0,0,0)\\
y^\prime (0) = -g_z (0,0,0)
\end{cases}
\]
che è già risolto.
Per ottenere un'approssimazione almeno al secondo ordine, invece, ti basta determinare \(x^{\prime \prime} (0),\ y^{\prime \prime }(0)\): ciò si fa derivando due volte rispetto a \(z\) il sistema dopo aver sostituito \(x=x(z)\) ed \(y=y(z)\) e tenendo presente che \(x(0)=0=y(0)\), \(x^\prime (0)=-f_z(0,0,0)\) e \(y^\prime (0)=-g_z (0,0,0)\).
Grazie mille,
però vorrei sapere una cosa,non c'è un metodo per risolvere lo stesso esercizio ragionando,dopo aver sviluppato con taylor, sui simboli di Landau??cioè dopo aver sviluppato all'ordine richiesto "tagliare al primo ordine"(cioè prendo tutti i termini al primo grado dello sviluppo) e inglobare gli o-piccoli tra di loro:(avendo ad esempio o(xy) e o((x+y)^2) farli diventare o(x) oppure o(y):non so se mi sono spiegato bene
)
Scusami per l'insistenza ma questo metodo mi interesserebbe
però vorrei sapere una cosa,non c'è un metodo per risolvere lo stesso esercizio ragionando,dopo aver sviluppato con taylor, sui simboli di Landau??cioè dopo aver sviluppato all'ordine richiesto "tagliare al primo ordine"(cioè prendo tutti i termini al primo grado dello sviluppo) e inglobare gli o-piccoli tra di loro:(avendo ad esempio o(xy) e o((x+y)^2) farli diventare o(x) oppure o(y):non so se mi sono spiegato bene
)Scusami per l'insistenza ma questo metodo mi interesserebbe
Mi spiego meglio: quello che vorrei sapere è come si comportano gli o piccoli con più variabili,valgono le stesse operazioni di quelli in una variabile??ad esempio se ho o(x+y+z) posso dividerlo in o(x)+o(y)+o(z)?se ho o(xyz) come devo comportarmi??
Grazie
Grazie
Se devo essere sincero, non capisco come avresti voluto risolvere l'esercizio. Prova a scrivere qualche formula (usando, se non il TeX, almeno il MathML).
Per quanto riguarda la faccenda dei simboli di Landau, non ci ho mai pensato seriamente. Prova a fare una dimostrazione con due variabili, oppure a trovare un controesempio.
Per quanto riguarda la faccenda dei simboli di Landau, non ci ho mai pensato seriamente. Prova a fare una dimostrazione con due variabili, oppure a trovare un controesempio.
Ecco come intendevo risolverlo
Sviluppando con Taylor in un intorno dell’origine si ha (1.1)
\[
\begin{cases}
xy+o((xy)^2)+1+\frac{z^2}{2}+o(z^3)+x-z+o((x-z)^2)=1 \\
y+z-\frac{1}{2}(y+z)^2+o((y+z)^2)
+xy+o(xy)=0
\end{cases}
\]
da cui al prim’ordine si ha
\[
\begin{cases}
x=z+o(x)+o(z) \\
y=-z+o(z)+o(x)+o(y)
\end{cases}
\]
da cui passando agli infinitesimi o(x) = o(y) = o(z) e quindi (1.2)
\[
\begin{cases}
x=z+o(z) \\
y=-z+o(z)
\end{cases}
\]
che è lo sviluppo al prim’ordine cercato. Sostituendo opportunamente lo sviluppo (1.2) nella (1.1) si ha
\[
\begin{cases}
x=z-z^2+o(z^2)−\frac{z^2}{2}=z-\frac{3}{2}z^2o(z^2) \\
y=-z+o(z^2)-z^2=-z-z^2+o(z^2)
\end{cases}
\]
che è lo sviluppo al second’ordine cercato.
Avete consigli in merito?
Grazie
Sviluppando con Taylor in un intorno dell’origine si ha (1.1)
\[
\begin{cases}
xy+o((xy)^2)+1+\frac{z^2}{2}+o(z^3)+x-z+o((x-z)^2)=1 \\
y+z-\frac{1}{2}(y+z)^2+o((y+z)^2)
+xy+o(xy)=0
\end{cases}
\]
da cui al prim’ordine si ha
\[
\begin{cases}
x=z+o(x)+o(z) \\
y=-z+o(z)+o(x)+o(y)
\end{cases}
\]
da cui passando agli infinitesimi o(x) = o(y) = o(z) e quindi (1.2)
\[
\begin{cases}
x=z+o(z) \\
y=-z+o(z)
\end{cases}
\]
che è lo sviluppo al prim’ordine cercato. Sostituendo opportunamente lo sviluppo (1.2) nella (1.1) si ha
\[
\begin{cases}
x=z-z^2+o(z^2)−\frac{z^2}{2}=z-\frac{3}{2}z^2o(z^2) \\
y=-z+o(z^2)-z^2=-z-z^2+o(z^2)
\end{cases}
\]
che è lo sviluppo al second’ordine cercato.
Avete consigli in merito?
Grazie
quello che mi interessa sapere è come i comportano gli o-piccoli in funzioni di più variabili!!
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