O piccoli

[Kate901]

salve a tutti!!! ho deciso di aprire questo nuovo topic perchè ho un dubbio per quanto riguarda i polinomi di taylor e soprattutto gli o piccoli e il criterio con cui si ottengono. per esempio stavo svolgendo questo esercizio:
$ lim_(x ->0) ((x-ln (1+x))sin^2(x)) / arctan(x) $
e per quanto riguarda il seno verrebbe:
sin x= (x + o(x^2)) che poi verrà elevato al quadrato. ma non ho capito perchè proprio x^2. poi una volta svolto il quadrato quale o piccolo devo sciegliere? cioè con quale esponente? scusate se magari è una domanda banale ma vorrei capirli bene! grazie!!

[K.Lomax]

Per [tex]x\to 0[/tex] devi determinare il grado più piccolo a numeratore e a denominatore e confrontarli sapendo che:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{x^n+o(x^n)}{x^m+o(x^m)}=
\begin{cases}
0 & \mbox{se } n>m \\
1 & \mbox{se } m=n\\
+\infty & \mbox{se } n \end{cases}[/tex]

[Kate901]

"K.Lomax":Per [tex]x\to 0[/tex] devi determinare il grado più piccolo a numeratore e a denominatore e confrontarli sapendo che:

[tex]\displaystyle\lim_{x \to 0^+}\frac{x^n+o(x^n)}{x^m+o(x^m)}=
\begin{cases}
0 & \mbox{se } n>m \\
1 & \mbox{se } m=n\\
+\infty & \mbox{se } n \end{cases}[/tex]

ma affinchè sia un o piccolo il limite deve venire o vero? e in questo caso perchè il grado più piccolo non è 1?

[K.Lomax]

Per [tex]o(x^n)[/tex] si intende un polinomio il cui grado è superiore ad [tex]n[/tex] ovvero tende a zero più velocemente di [tex]x^n[/tex] e per tale motivo risulta trascurabile rispetto a quest'ultimo.
Perchè il grado più piccolo non è 1? Sviluppa in serie di Taylor e vedi cosa viene fuori.

[Kate901]

va bene. grazie