Nuovo limite (credo di aver operato bene) ....
Dato che siete praticamente perfetti Vi propongo questa soluzione (forse non molto ortodossa):
$\lim_ (n->+\infty) sqrt n * sen (sqrt (n+1) - sqrt n)$=
$\lim_ (n->+\infty) sqrt n * sen[ (sqrt (n+1) - sqrt n) *(sqrt (n+1) + sqrt n)/(sqrt (n+1) + sqrt n)*]$=
Razionalizzando il numeratore e semplificando :
$\lim_ (n->+\infty) sqrt n * sen (1/(sqrt(n+1) + sqrt n)) $ =
Ora non so che pesci prendere pero' credo che:
parlare di $sqrt (n+1) $ o di $ sqrt n$ per $ n-> (+infty) $ sia la stessa cosa .
(Ho cancellato alcune parti scandalose di cui mi vergogno al solo vederle)...........
Cosa nè dite? Grazie Roby.
$\lim_ (n->+\infty) sqrt n * sen (sqrt (n+1) - sqrt n)$=
$\lim_ (n->+\infty) sqrt n * sen[ (sqrt (n+1) - sqrt n) *(sqrt (n+1) + sqrt n)/(sqrt (n+1) + sqrt n)*]$=
Razionalizzando il numeratore e semplificando :
$\lim_ (n->+\infty) sqrt n * sen (1/(sqrt(n+1) + sqrt n)) $ =
Ora non so che pesci prendere pero' credo che:
parlare di $sqrt (n+1) $ o di $ sqrt n$ per $ n-> (+infty) $ sia la stessa cosa .
(Ho cancellato alcune parti scandalose di cui mi vergogno al solo vederle)...........
Cosa nè dite? Grazie Roby.
Risposte
Credi male!
Anche perché
$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$, mentre quello che dici tu è $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$.
Ma ora ho troppo sonno per guardare tutto ciò che hai scritto, sorry!
Tra l'altro, stai facendo il limite di una successione, quindi non puoi neanche usare de l'Hopital!

$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sin x}{x}=0$, mentre quello che dici tu è $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$.
Ma ora ho troppo sonno per guardare tutto ciò che hai scritto, sorry!

Tra l'altro, stai facendo il limite di una successione, quindi non puoi neanche usare de l'Hopital!

Mi hai rimesso sull'attenti. Hai perfettamente ragione.
Scusate.
Scusate.
Il teorema di de l'Hopital applicato ad una variabile discreta non l'avevo mai visto... 
Dividere numeratore e denominatore per $\sqrt(n)$ non si usa più?
Ai miei tempi era uno stratagemma che funzionava...

Dividere numeratore e denominatore per $\sqrt(n)$ non si usa più?
Ai miei tempi era uno stratagemma che funzionava...
Qunado dividere per $sqrt n$ ? Dopo il primo passaggio? Dopo aver trasformato l'argomento del $sen $ ? cioè a questo livello? :
$ lim_ (n-> (+ infty) )sqrt n * sen ( 1/ ( sqrt(n+1) + sqrt n) )?
$ lim_ (n-> (+ infty) )sqrt n * sen ( 1/ ( sqrt(n+1) + sqrt n) )?
"ANTONELLI ":
$\lim_ (n->+\infty) sqrt n * sen (1/(sqrt(n+1) + sqrt n)) =$ =
$lim_(n->+\infty) sqrt n * sen (1/(sqrt(n+1) + sqrt n)) =lim_(n->+\infty) sqrt n * sen 1/(2sqrt(n)) =$
poniamo $1/sqrt(n)=t$
il tuo limite diventa
$lim_(t->0)1/t*sin(1/2t)=1/2
Scusa Piero:
Condividi con me che parlare di $sqrt (n+1) $ o di $sqrt n$ è la stessa cosa per $ n_->\ + infty$.
Dopo di che se ho ben capito si applica il limite notevole $(sen t)/t$ con $ t_->0$ che vale $1$ lavorando con il rovescio del primo prodotto:
$lim_(n->0) 1/2*(sen (1/2*t)) /(1/2*t)$
e quindi il risultato ovviamente è $1/2$
Va bene ?GRazie.
Condividi con me che parlare di $sqrt (n+1) $ o di $sqrt n$ è la stessa cosa per $ n_->\ + infty$.
Dopo di che se ho ben capito si applica il limite notevole $(sen t)/t$ con $ t_->0$ che vale $1$ lavorando con il rovescio del primo prodotto:
$lim_(n->0) 1/2*(sen (1/2*t)) /(1/2*t)$
e quindi il risultato ovviamente è $1/2$
Va bene ?GRazie.
"ANTONELLI ":
Va bene ?
va bene (circa)
il limite è risolto per sostituzione, non ha senso mischiare x con n e con t(ma forse il tuo è un refuso) dunque:
$lim_(t->0)(sen t)/t=1$
$lim_(t->0) 1/2*(sen 1/2t )/(1/2*t)=1/2*lim_(t->0) (sen 1/2t )/(1/2t)=1/2*1=1/2$
Grazie Piero. Spesso mi perdo.
Abbiate pazienza. Ma la passione è tanta.
Roby
Abbiate pazienza. Ma la passione è tanta.
Roby
non c'è di che.
a completamento di quanto detto:
il limite è risolto per sostituzione. intendo che se $n->+infty$ anche $sqrtn->+infty$ allora $t=1/sqrtn->0$
ciao
a completamento di quanto detto:
il limite è risolto per sostituzione. intendo che se $n->+infty$ anche $sqrtn->+infty$ allora $t=1/sqrtn->0$
ciao
Ragazzi ma siamo sicuro che dell'Hopital con le successioni non si possa usare?
Io avevo fatto la stessa osservazione al mio prof di Analisi, e lui mi ha detto che si può usare tranquillamente (e lui sa sicuramente il fatto suo)...cosa devo prendere per vero?
Io avevo fatto la stessa osservazione al mio prof di Analisi, e lui mi ha detto che si può usare tranquillamente (e lui sa sicuramente il fatto suo)...cosa devo prendere per vero?

Obbiettivamente pur avendolo usato a sproposito devo riconoscere che la teoria dice che :
1 . L'intervallo dove applicare l'Hopital deve essere aperto
2 . La funzione deve essere continua
3 . La funzione deve essere derivabile
4 . Deve esserci la condizione d'indeterminatezza $0/0$ o $infty/infty$
ed in questo caso solo una condizione poteva essere assolta.
1 . L'intervallo dove applicare l'Hopital deve essere aperto
2 . La funzione deve essere continua
3 . La funzione deve essere derivabile
4 . Deve esserci la condizione d'indeterminatezza $0/0$ o $infty/infty$
ed in questo caso solo una condizione poteva essere assolta.
"Cod":
Ragazzi ma siamo sicuro che dell'Hopital con le successioni non si possa usare?
Io avevo fatto la stessa osservazione al mio prof di Analisi, e lui mi ha detto che si può usare tranquillamente (e lui sa sicuramente il fatto suo)...cosa devo prendere per vero?
Mettiamo subito in chiaro una cosa: io i teoremi del marchese li uso solo in casi estremi, di solito preferisco evitarli; questo per diversi motivi, primo tra tutti il fatto che non fanno capire cosa sta realmente succedendo "dentro" un limite.
Quindi tutto quello che dirò è viziato da questa mia preferenza.

Alcuni motivi che mi hanno spinto al post precedente sono i seguenti:
- i limiti di successione si studiano prima degli strumenti classici del Calcolo Differenziale, di cui i teoremi di de l'Hôpital fanno parte: quindi non mi pare giust(ificat)o applicare un risultato del genere a limiti di successione (soprattutto a quelli che possono essere risolti senza troppe complicazioni formali);
- l'uso sconsiderato delle due regole di de l'Hôpital sà di apprendimento mnemonico: in particolare, chi applica le regole alle successioni sembra non aver mai fatto caso al fatto che le successioni non si possono derivare (il che è una differenza basilare tra la variabile discreta e quella continua);
- l'uso dei teoremi è giustificato solamente in un caso: quando in un rapporto $a_n/b_n$ entrambe le successioni sono costruite a partire da due funzioni $f,g:RR\to RR$* che soddisfino tutte le ipotesi dei suddetti teoremi; in tal caso infatti si può riguardare il limite $lim_n a_n/b_n$ come "particolarizzazione" sulla successione dei numeri naturali del limite $lim_(x\to +oo) f(x)/g(x)$;
- esistono teoremi molto simili a quelli di de l'Hôpital per le successioni (vedi questo post e seguenti, ad esempio).
Questo è quanto.
__________
* Nel senso che risulta $a_n:=f(n)$ e $b_n:=g(n)$.
"Gugo82":
[quote="Cod"]Ragazzi ma siamo sicuro che dell'Hopital con le successioni non si possa usare?
Io avevo fatto la stessa osservazione al mio prof di Analisi, e lui mi ha detto che si può usare tranquillamente (e lui sa sicuramente il fatto suo)...cosa devo prendere per vero?
Mettiamo subito in chiaro una cosa: io i teoremi del marchese li uso solo in casi estremi, di solito preferisco evitarli; questo per diversi motivi, primo tra tutti il fatto che non fanno capire cosa sta realmente succedendo "dentro" un limite.
Quindi tutto quello che dirò è viziato da questa mia preferenza.

Alcuni motivi che mi hanno spinto al post precedente sono i seguenti:
- i limiti di successione si studiano prima degli strumenti classici del Calcolo Differenziale, di cui i teoremi di de l'Hopital fanno parte: quindi non mi pare giust(ificat)o applicare un risultato del genere a limiti di successione (soprattutto a quelli che possono essere risolti senza troppe complicazioni formali);
- l'uso sconsiderato delle due regole di de l'Hopital sà di apprendimento mnemonico: in particolare, chi applica le regole alle successioni sembra non aver mai fatto caso al fatto che le successioni non si possono derivare (il che è una differenza basilare tra la variabile discreta e quella continua);
- l'uso dei teoremi è giustificato solamente in un caso: quando in un rapporto $a_n/b_n$ entrambe le successioni sono costruite a partire da due funzioni $f,g:RR\to RR$* che soddisfino tutte le ipotesi dei suddetti teoremi; in tal caso infatti si può riguardare il limite $lim_n a_n/b_n$ come "particolarizzazione" sulla successione dei numeri naturali del limite $lim_(x\to +oo) f(x)/g(x)$;
- esistono teoremi molto simili a quelli di de l'Hopital per le successioni (vedi questo post e seguenti, ad esempio).
Questo è quanto.
__________
* Nel senso che risulta $a_n:=f(n)$ e $b_n:=g(n)$.[/quote]
Io sono pienamente d'accordo con quanto enunciato da Gugo, con una piccola precisazione: io il teorema di de l'Hopital non lo uso mai!

@ ciampax: nemmeno nella dimostrazione della formula di Taylor col resto di Peano?

"Gugo82":
@ ciampax: nemmeno nella dimostrazione della formula di Taylor col resto di Peano?
Neanche in quella!

Oltre ad essere in totale accordo con gugo82 e ciampax, sull'uso parsimonioso del teorema di de l'Hopital, mi resta un altro dubbio.
Se per la dimostrazione di detto teorema si utilizza il teorema di Cauchy, anch'esso "postumo" rispetto ai limiti di successioni, mi sembra strano dare all'Hopital un valore "retroattivo"
Nel dubbio per le successioni io non lo uso.
Se per la dimostrazione di detto teorema si utilizza il teorema di Cauchy, anch'esso "postumo" rispetto ai limiti di successioni, mi sembra strano dare all'Hopital un valore "retroattivo"
