Nuovo aiuto per caratterizzazione superjet
Ciao a tutti!
Torno nuovamente su un argomento per cui avevo già chiesto una mano. Devo dimostrare che
${ (p,X)\in RR^n xx S(N) : u(x)<=u(x_0)+p*(x-x_0)+1/2 (x-x_0)^t*X*(x-x_0)+o(|x-x_0|^2)}= $
$= {(nabla phi (x_0), nabla^2 phi(x_0)) : phi in C^2, u-phi$ ha massimo locale in $x_0}$.
In particolare devo vedere che fissati una funzione qualsiasi $ u: RR^N -> RR $ e un punto $x_0\in RR^N$ e presi $p\in RR^N$ e $X$ matrice simmetrica tali che valga
$ u(x)<=u(x_0)+p * (x-x_0)+(x-x_0)^t*X*(x-x_0)+o(|x-x_0|^2) $ per $x->x_0$ in un insieme $O$,
allora esiste $phi$ di classe $C^2$ tale che $nabla phi(x_0)=p$ $nabla^2 phi(x_0)=X$ e $u-phi$ abbia massimo locale in $x_0$ relativamente ad $O$.
Ho provato a seguire un'idea data da Rigel e, fissati $p$ e $X$ come sopra, ho scelto la funzione $C^2$
$phi(x)=u(x_0)+p * (x-x_0)+(x-x_0)^t*X*(x-x_0)+(epsilon/2)|x-x_0|^2$
che per ipotesi ha massimo locale in $x_0$. In questo caso vale però
$D phi(x_0)=p+X*(x-x_0)+\epsilon(x-x_0)$ e
$D^2 phi=X+epsilon I$ e da qui non riesco a concludere. Riuscite a darmi un'altra mezza idea?
Grazie mille!
Torno nuovamente su un argomento per cui avevo già chiesto una mano. Devo dimostrare che
${ (p,X)\in RR^n xx S(N) : u(x)<=u(x_0)+p*(x-x_0)+1/2 (x-x_0)^t*X*(x-x_0)+o(|x-x_0|^2)}= $
$= {(nabla phi (x_0), nabla^2 phi(x_0)) : phi in C^2, u-phi$ ha massimo locale in $x_0}$.
In particolare devo vedere che fissati una funzione qualsiasi $ u: RR^N -> RR $ e un punto $x_0\in RR^N$ e presi $p\in RR^N$ e $X$ matrice simmetrica tali che valga
$ u(x)<=u(x_0)+p * (x-x_0)+(x-x_0)^t*X*(x-x_0)+o(|x-x_0|^2) $ per $x->x_0$ in un insieme $O$,
allora esiste $phi$ di classe $C^2$ tale che $nabla phi(x_0)=p$ $nabla^2 phi(x_0)=X$ e $u-phi$ abbia massimo locale in $x_0$ relativamente ad $O$.
Ho provato a seguire un'idea data da Rigel e, fissati $p$ e $X$ come sopra, ho scelto la funzione $C^2$
$phi(x)=u(x_0)+p * (x-x_0)+(x-x_0)^t*X*(x-x_0)+(epsilon/2)|x-x_0|^2$
che per ipotesi ha massimo locale in $x_0$. In questo caso vale però
$D phi(x_0)=p+X*(x-x_0)+\epsilon(x-x_0)$ e
$D^2 phi=X+epsilon I$ e da qui non riesco a concludere. Riuscite a darmi un'altra mezza idea?
Grazie mille!
Risposte
"DoraDora":
Ciao a tutti!
Torno nuovamente su un argomento per cui avevo già chiesto una mano. Devo dimostrare che
${ (p,X)\in RR^n xx S(N) : u(x)<=u(x_0)+p*(x-x_0)+1/2 (x-x_0)^t*X*(x-x_0)+o(|x-x_0|^2)}= $
$= {(nabla phi (x_0), nabla^2 phi(x_0)) : phi in C^2, u-phi$ ha massimo locale in $x_0}$.
In particolare devo vedere che fissati una funzione qualsiasi $ u: RR^N -> RR $ e un punto $x_0\in RR^N$ e presi $p\in RR^N$ e $X$ matrice simmetrica tali che valga
$ u(x)<=u(x_0)+p * (x-x_0)+(x-x_0)^t*X*(x-x_0)+o(|x-x_0|^2) $ per $x->x_0$ in un insieme $O$,
allora esiste $phi$ di classe $C^2$ tale che $nabla phi(x_0)=p$ $nabla^2 phi(x_0)=X$ e $u-phi$ abbia massimo locale in $x_0$ relativamente ad $O$.
Ho provato a seguire un'idea data da Rigel e, fissati $p$ e $X$ come sopra, ho scelto la funzione $C^2$
$phi(x)=u(x_0)+p * (x-x_0)+(x-x_0)^t*X*(x-x_0)+(epsilon/2)|x-x_0|^2$
che per ipotesi ha massimo locale in $x_0$. In questo caso vale però
$D phi(x_0)=p+X*(x-x_0)+\epsilon(x-x_0)$ e
$D^2 phi=X+epsilon I$ e da qui non riesco a concludere. Riuscite a darmi un'altra mezza idea?
Grazie mille!
Ovviamente era $D phi(x)=p+X*(x-x_0)+\epsilon(x-x_0)$ quindi $D phi(x_0)=p$! Scusate
Puoi trovare la costruzione che ti serve a p. 25 (step 3 della dim.) di queste note:
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.j ... Mizuno.pdf
http://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.j ... Mizuno.pdf
Ti ringrazio di cuore! Tra l'altro il link che mi hai consigliato mi sarà utile anche per altre cose!! Grazie ancora
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