Nuovi limiti

[univr1]

(1) lim per x che tende a 0+ di [ln(1+x^2)+ tg x^(1/2) + e^(-1/x)*x^(1/2)]/[3*x^(1/2)+x*sen x]

(2) lim x->0+ di logx * log(1+log(1+x))

(3) lim x -> + infinito di (4x+1)^(1/2) * ln[1-((x+1)^(1/2))/(x+2)]

(4) lim x -> 0 di [ln(sen(4x^2)+1)]/(e^(tg5x)-1)

[goblyn]

(1)

ln(1+x^2)-->x^2
tg(x)^(1/2)-->x^1/2
x*sin(x)-->x^2

Inoltre e^(-1/x) tende a 0 + rapidamente di qualsiasi potenza di x. Quindi al numeratore sopravvive:

[x^(1/2)] * [1+e^(-1/x)]

e al denominatore sopravvive 3*x^1/2

Facendo il rapporto rimane:

1/3 * [1+e^(-1/x)]--> 1/3

(2)

log(1+log(1+x))-->log(1+x)-->x

il limite si può allora riscrivere:

x*log(x)=log(x)/(1/x)

de l'hopital:

-x --> 0

(3)

il log --> -sqrt(x+1)/(x+2)-->-1/sqrt(x)

il primo fattore invece --> 2*sqrt(x)

Il prodotto dei due termini è:

-2 che è il limite richiesto.

(4)

il num tende a 4x^2, il den tende a 5x: il repporto vale 4/5*x-->0

[univr1]

ciao goblyn, grazie per tutto pero` e` doverosa una premessa: tutti questi esercizi di analisi ci servono per passare l'esame di Analisi, ovviamente, dunque quando risolvi gli esecizi dovresti spiegare il piu` possibile. scusa per la rottura ma ne abbiamo bisogno.

perche' lim x-> 0 di ln(1+x) = x e lim x-> +infinito di ln(1-x) = x?

perche` lim x->0 di ln(sen(4x^2)) = 4x^2?

e perche` lim x->0 di e^(tg(5x))-1 = 5x?

ciao e grazie

[goblyn]

ok hai ragione!

Ho applicato lo stesso metodo in tutti i limiti. Ho sostituito le varie funzioni (seni tangenti logaritmi ed esponenziali) con il loro sviluppo di taylor arrestato al prim'ordine...

Ad esempio:

f(x)=log(1+x)
f'(x)=1/(1+x)

f(0)=0
f'(0)=1

log(1+x)=x+...

eccetera!

prova e vedrai che è semplice!

ciao!

[univr1]

grazie veramente, quindi anche questa e' una maniera di risolvere i limiti, cioe' sviluppo il limite della serie di taylor e funziona lo stesso, grazie tante

[goblyn]

Certo, anzi è un metodo molto potente! Bisogna stare attenti però a non troncare troppo presto il polinomio. Di volta in volta decidi a quale ordine arrestarti.