Numero soluzioni equazione!
Ciao! Sono alle prese con l'esame di AnalisiI e il prof nel compito mette un esercizio del tipo: "Trovare il numero di soluzioni dell'equasione..." Come dovrei procedere ad esempio per $ x^90+1=20x $ ? Grazie!
Risposte
Teorema degli zeri e studio della monotònia. 
Prova un po'...
Prova un po'...
Ecco si, il problema è che non ero presente alla lezione e da sola non riesco a capire come applicarlo! 
Potreste aiutarmi a risolverlo? Sinceramente mi viene difficile anche studiarne la monotonia! Ma conviene studiare l'equazione così com'è o portare tutto al primo membro e uguagliare a 0?
Potreste aiutarmi a risolverlo? Sinceramente mi viene difficile anche studiarne la monotonia! Ma conviene studiare l'equazione così com'è o portare tutto al primo membro e uguagliare a 0?
In generale, un'equazione del tipo \(f(x)=g(x)\) ha soluzione se e solo se il "deficit" tra i due membri, cioè la funzione ausiliaria \(\Delta (x) = f(x)-g(x)\), si annulla in qualche punto (questo è un fatto abbastanza evidente).
Conseguentemente, per stabilire quante soluzioni ha l'equazione \(f(x)=g(x)\) occorre e basta stabilire quante soluzioni ha l'equazione \(\Delta (x)=0\).
Nel nostro caso è \(\Delta (x)=x^{90}-20x+1\) e si vede che \(\Delta\) è una funzione derivabilissima quante volte si vuole in tutto \(\mathbb{R}\).
Dato che la derivata prima è \(\Delta^\prime (x)=90x^{89}-20\), si ha:
\[
\Delta^\prime (x) > 0\quad \Leftrightarrow \quad x> \sqrt[89]{\frac{2}{9}}=:x_0
\]
la funzione \(\Delta \) è strettamente crescente in \([x_0,\infty[\) e strettamente decrescente in \(]-\infty ,x_0]\) e prende minimo assoluto in \(x_0\), tale minimo essendo:
\[
\begin{split}
\Delta (x_0) &= \left( \sqrt[89]{\frac{2}{9}} \right)^{90} -20 \sqrt[89]{\frac{2}{9}} +1\\
&= \frac{2}{9} \sqrt[89]{\frac{2}{9}} - 20 \sqrt[89]{\frac{2}{9}} + 1\\
& = 1-\frac{178}{9} \sqrt[89]{\frac{2}{9}}\\
&<0\;.
\end{split}
\]
Dato che:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} \Delta (x) = +\infty\; ,
\]
l'equazione \(\Delta (x)=0\) ha esattamente due soluzioni, una maggiore ed una minore di \(x_0\).
Conseguentemente, per stabilire quante soluzioni ha l'equazione \(f(x)=g(x)\) occorre e basta stabilire quante soluzioni ha l'equazione \(\Delta (x)=0\).
Nel nostro caso è \(\Delta (x)=x^{90}-20x+1\) e si vede che \(\Delta\) è una funzione derivabilissima quante volte si vuole in tutto \(\mathbb{R}\).
Dato che la derivata prima è \(\Delta^\prime (x)=90x^{89}-20\), si ha:
\[
\Delta^\prime (x) > 0\quad \Leftrightarrow \quad x> \sqrt[89]{\frac{2}{9}}=:x_0
\]
la funzione \(\Delta \) è strettamente crescente in \([x_0,\infty[\) e strettamente decrescente in \(]-\infty ,x_0]\) e prende minimo assoluto in \(x_0\), tale minimo essendo:
\[
\begin{split}
\Delta (x_0) &= \left( \sqrt[89]{\frac{2}{9}} \right)^{90} -20 \sqrt[89]{\frac{2}{9}} +1\\
&= \frac{2}{9} \sqrt[89]{\frac{2}{9}} - 20 \sqrt[89]{\frac{2}{9}} + 1\\
& = 1-\frac{178}{9} \sqrt[89]{\frac{2}{9}}\\
&<0\;.
\end{split}
\]
Dato che:
\[
\lim_{x\to \pm \infty} \Delta (x) = +\infty\; ,
\]
l'equazione \(\Delta (x)=0\) ha esattamente due soluzioni, una maggiore ed una minore di \(x_0\).
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