Numero di zeri di una funzione.

[salvozungri]

Ciao a tutti, mi hanno dato un esercizio praticamente sotto l'ombrellone e volevo chiedere conferma. E' tratto da un pre-test di analisi matematica del politecnico di Torino (ingegneria) dell'anno accademico appena trascorso. Non ricordo tutte le opzioni, ma ricordo ciò che chiedeva l'esercizio.

Sia \(f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) una funzione derivabile per la quale valga \(f(0)=f(10)=0\). Definita la funzione \(g(x)= (f(x))^2\) allora:

a) La derivata prima di \(g\) si annulla almeno 3 volte
b) La derivata prima di \(g\) si annulla esattamente 3 volte
c) La derivata prima di \(g\) si annulla al più 3 volte
d) La derivata prima di \(g\) si annulla 2 volte
e) La derivata prima di \(g\) si annulla 1 volta

Se non ho fatto errori di logica, la risposta esatta dovrebbe essere

a)

Chi vuole cimentarsi per togliermi questo dubbio, giustificando per bene la risposta? Nota: l'esercizio è caruccio ed è rivolto a coloro che devono affrontare analisi 1. Grazie

[ciampax]

Bè, mi sembra abbastanza ovvio quanto segue:

1) poiché $g'(x)=2\cdot f(x)\cdot f'(x)$ segue che la derivata prima si annulla certamente in $x=0$ e $x=10$, poiché lo fa $f$;
2) dal teorema di Rolle, esiste almeno un punto $c\in(0,10)$ tale che $f'(c)=0$. Ne segue che anche $g'(c)=0$.

Pertanto ci sono almeno tre punti in cui, sicuramente, la funzione si annulla. Dal momento che il teorema di Rolle non fornisce informazioni sull'unicità di tale punto, segue che potrebbero essercene anche altri e quindi avere un numero superiore a 3 di punti in cui la funzione $g$ si annulla.

[Quinzio]

Chiedo scusa per l'intromissone. Siccome personalmente faccio fatica a porre le condizioni di continuità, derivabilità, estremi, ecc. volevo chiedere:
la funzione di cui si sta parlando deve anche essere continua o basta specificare che è derivabile ?
Forse la derivabilità implica la continuità ?
Forse era specificato nel testo originale e non è stato riportato ?

[Sk_Anonymous]

@Quinzio: se una funzione \(f\) è derivabile nel punto \(x_{0}\), ivi è continua.